博弈论五大模型
前四大模型的深入理解
Bash博弈模型
有一堆数量为n的石头，双方轮流每次从堆中取至少1个石头最多m个石头，谁先取完谁赢。
设存在整数k和r使方程**n=k*(m+1)+r**成立,当r==0时先手必败，否则先手必赢。
结论：n%(m+1) == 0, 先手必败
Wythoff博弈模型
有两堆数量分别为x、y(x <= y)的石头，每次可以从一堆中取至少一个石头或者从两堆中取同等数量的石头，谁先取完谁赢。
结论：x == floor( (sqrt(5)+1)/2 )*(y-x), 满足等式时先手必败
Nim博弈模型
有任意m堆、数量任意的石头，每次只能从一堆中获取至少1个石头，谁先取完谁赢
设石头堆Di，Di的异或和k = D1^D2^...^Di，当且仅当k == 0时先手必败，否则先手必赢
结论：D1^D2^...^Di == 0, 先手必败
Fibonacci博弈模型
有一堆数量为n的石头，双方轮流从石头堆里取k[i]个石头(1≤k[i]≤2*k[i-1])，先取完的人获胜
当且仅当n不是斐波那契数时，先手必胜，否则先手必败
结论：Fib(n) == false, 先手必胜
SG函数
对sg函数的深入理解
定义： P点：必败点，换而言之，就是谁处于此位置，则在双方操作正确的情况下必败。
______ N点：必胜点，处于此情况下，双方操作均正确的情况下必胜。
定义：设mex{S}为集合S中第一个不存在的正整数
定义：设sg(x)为x状态的sg值，sg(x)=mex{S}，其中S为x的后继状态的sg值的集合
当sg(x) == 0时， 没有获胜局面，此时处于P点
性质：1、所有终结点的sg值都为0，即sg(0) == 0
______2、无论在N点如何操作，都至少存在一种情况进入P点
______3、无论如何，P节点的后继节点一定是N节点
______4、无论如何只能进入N点的点一定是P点
例题：HDU 1848：Fibonacci again and again
题解：假设只有一堆数量为n的石子
定义sg(x)函数为当前石子数量的sg函数，每次只能取Fib[]数列的数
sg[0] = 0, Fib[] = {1,2,3,5...}
当x == 1时，可以取Fib[1]个石子，剩余0个石子，sg[1] = mex{sg[0]} = mex{0} = 1;
当x == 2时，可以取Fib[2]、Fib[1]个石子，剩余1、0个石子sg[2] = mex{sg[1],sg[0]} = mex{0,1} = 2;
当x == 3时，可以取Fib[3]、Fib[2]、Fib[1]个石子，剩余2、1、0个石子，sg[3] = mex{sg[2],sg[1],sg[0]} = mex{2,1,0} = 3;
当x == 4时，可以取Fib[3]、Fib[2]、Fib[1]个石子，剩余3、2、1个石子，sg[4] = mex{sg[3],sg[2],sg[1]} = mex{3,2,1} = 0;
......
当x == n时，若sg[n] != 0，先手必胜
对于多堆石子，类比Nim游戏：
sg[n]^sg[m]^sg[k] == 0, 先手必败
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