【原创】动态规划超实用套路——刘子沛
前言
本文为二十一世纪二十年代的最新产物，作者：刘子沛
微信号：zipeiliu
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本文内容可能过于丰富，建议先扫一遍，然后再分成几个部分每天读一部分，因为这样你才能掌握本文的精髓
干货ahead!!!
动态规划 (DP) 是一个很万能的东西，好比数学中的方程。它也是信奥学习中的重点和难点，因此把它学好至关重要。如果你去洛谷等OJ上刷题你会明显感觉到：
- DP的题目我都能看得懂题解，但要我自己写却没有思路。这时，解题的套路就凸显出了它的重要性。
套路如浩瀚的题海中的一座灯塔，指引我们解题的方向。 ——刘子沛
网上其他的文章会叽里咕噜说一堆东西，常见的有
暴力递归解法——带备忘录的递归解法——递推解法
可你不妨设想一下，这种套路有实质的作用吗？
没有，因为前两步会比第三步还要难写。
那么难道真的没有套路吗？
有的，答案就在下面。
一、DP四步走
1. 状态的表示
2. 状态转移方程
3. 边界
4. 优化
注意：这4步和所谓的 DP三要素 完全不同，后面会讲到。
二、“四步走”的详解
PS：这部分博客会按照四个步骤分为四个小部分，每部分会以一个口诀结束，并会在下方有相应的解释，口诀的作用是方便各位大佬记忆 ，看我多贴心 。
1. 状态的表示
令 dp[ i ] [ j ] [ k ] = x ，其中 [ i ]、[ j ]、[ k ] 我们将它们定义为状态转移方程的维。
两个要点：
- 每一维所表示的状态除了表面状态，还可以表示更深层次、更抽象的东西，DP中较难的题目都是既有维表示表面状态，又有维表示深层次的状态。
举例：pre , step , id , money 等。 - 上面式子中的 x 一般表示题目要求求的值（比如“到达终点最少需要多少步），但是也有例外，如可行性DP（以后会精讲）。
表深结合唯可推
表深结合：上面讲的，不用解释了吧2333
唯：唯一。意思是说对于你设计的状态，我随便给一个 范围内的状态，比如 dp [ 1 ] [ 2 ] [ 4 ] ,它必须表示唯一的状态
可推：可递推。就是说可以从之前的若干状态自然而然地转移到当前状态
2.状态转移方程
可能有人会问：前面状态都设计好了，状态转移方程不是就呼之欲出了吗？
我回答：可是你以为所有的题目转移方程都像斐波那契数列和背包DP等等那么简单吗？
错
很多题目的状态转移方程还是很复杂的，有可能会用到以下结构：
if / else——分类讨论
max / min——求最值
for / while——遍历大量子状态
&& / || / ^ ——可行性DP
当然，也不局限于这些，只能说具体题目具体分析。
五花八门只看前
五花八门：这个词比较华丽。意思就是说转移时可能会很复杂，“很五花八门”，但我们一定要专注于需要哪些子状态来计算得到当前状态，而不是过分考虑，最终一无所获（后面再考虑优化等问题）。
只看前：不考虑后面怎样怎样，而是只考虑前面的状态，并借助它们进行转移。
3.边界
-
where？（在哪儿赋边界值）
考虑求解每个子问题时，有哪些时候“踩空”了（也就是说求解它是前面的子状态不合法），“踩空”的位置及那一类位置就是where -
what？（在where的地方赋什么值）
0：当 x=step / cnt / wealth 时
1：当 x=方案数 时
∞：求min时故意不从这里转移
-∞：求max时故意不从这里转移
true/false：可行性DP
踩空处赋各种值
这个……没啥可解释的了吧。
4.优化
这个操作很宽泛，举例：
- 矩阵优化，单调队列优化
- DP算法本身的优化
- 去掉DP状态数组的一些维
- 各种玄学小技巧类的优化（快读，氧气等等）
自身简化专业玄
坚持看完的都是大佬
建议各位大佬将本文收藏，多读几遍，口诀最好背过，这样效果最好。
本文的初衷是想让大佬们更加大佬化，WE AK NOIP！！！
Wait！！！
信奥中有一句通用法则：
题海战术
套路虽然有用，但是不结合题目来实战，就等于0
我们一起来将这个DP套路应用到实际解题当中：
（ DP的核心其实是在思路这块，代码相对而言可以说是呼之欲出的，又限于篇幅，后面就重点讲思路，代码就省略了哈 ）
基础应用.
题意：树上多重背包（可百度）
这道题大家在学习DP的时候应该都学过，但你知道解题人是怎么想出这么奇妙的算法的吗？
1.状态的表示
首先，树形DP 99% 的题目都必定有一维表示当前的节点编号。
然后，你可能就会懵逼了。接下来呢？那个天才能往别处想呢？
这是，口诀1 就发挥作用了：唯可推。每当我们状态设计到一半时，都要想一想：当前状态是否能表示唯一的操作？在这里，很显然是不能的，为什么？
因为我当前在这个节点，那我对它的子树进行了哪些操作？用了多少背包容量？于是乎，加一个维：占用背包容量大小。
那可推吗？首先，在直觉上你是可以感觉到可推的，因为我如果买当前节点的话把占用背包容量一减其实就能转移了，具体行不行可以在下一步再考虑。
2.状态转移方程
我们直接从口诀出发，会有一种被导游指引着的感觉，自己也不用有多么强的跳跃性思维，只要一步一步来，就解决问题了Orz
五花八门：实际上是这道题转移太简单了，所以很容易想到要枚举子节点
只看前：这里就需要格外关注了：当我转移时，假设当前节点u的儿子为v，可能只是v并不是最优的，以后还可能变得更优，那为什么现在就着急转移？因为后面的所谓“更优”其实会在v和u各利用一次，导致计算重复
3.边界
老规矩，先想口诀：踩空处赋各种值
那么我们就来找一下踩空处
模板中的做法是对于每个节点，枚举其所有叶子结点来更新值，最后加上当前节点的价值。
容易想到，叶子结点是特例：它没有子节点。但这并不影响做法，因为最后我们总会算上当前节点的价值，而本题又让我们求最大值，所以直接memset为无穷小。错了！！！
应该memset为0。
这是叶子结点就起决定性作用了。叶子节点不枚举其子节点，也就意味着最后的值会是 无穷小+节点价值！
所以，赋值为0的话，可以避免这种情况。
从本题中，你可以学到：
考虑边界时不能忽略特殊情况
4.优化
由于优化是针对线性DP的，对树形DP不太友好，故本题无优化。
可能你会认为，博主直接复制粘贴一个标程，再敲点注释不是又省事又清楚吗？干嘛非要长篇大论讲一堆没用的这种心情很能理解，但是你要明白
不会自己想出来题目的人，做多少题都没用。信奥的学习是注重方法的，而不是注重结果的。看了别人的题解得到启发确实可以马上AC，但是考场上却不能，因为没有了别人的启发，没有过硬的独立思考能力，而本博客正是总结了“思考的套路”。 ——刘子沛大佬
后面我会从洛谷中精选一些绿题和蓝题进行讲解，并且每日更新至少一道题。
- 本次更新时间为2020.5.24
- 下次更新时间为2020.5.24
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