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人脸对齐：仿射变换

三维空间的刚体运动描述方式

欧氏、相似、仿射、射影变换

Transformation Matrix DOF 不变性质 示意图
欧氏变换（Euclidean) T_{E} = \begin{bmatrix} {\boldsymbol R} & {\boldsymbol t} \\ {\boldsymbol 0}^{T} & 1 \end{bmatrix}
1) 旋转矩阵 RR 是正交矩阵正交矩阵；		 6 长度
夹角
体积
相似变换（Similarity） T_{S} = \begin{bmatrix} s{\boldsymbol R} & {\boldsymbol t} \\ {\boldsymbol 0}^{T} & 1 \end{bmatrix}
1) 旋转部分多了一个缩放因子缩放因子 ss，可以在 x,y,z 三个坐标上进行均匀的缩放；		 7 体积比
仿射变换（Affine）
亦称 正交投影		 T_{A} = \begin{bmatrix} {\boldsymbol A} & {\boldsymbol t} \\ {\boldsymbol 0}^{T} & 1 \end{bmatrix}
1) 矩阵 AA 是一个可逆矩阵，不必是正交矩阵；
2) 立方体经仿射变换之后不再是方的，但各个面仍是平行四边形；		 12 平行性
体积比
射影变换（Projective） T_{P} = \begin{bmatrix} {\boldsymbol A} & {\boldsymbol t} \\ {\boldsymbol a}^{T} & v \end{bmatrix}
1) 左上角为可逆矩阵 A，右上为平移 tt，左下为缩放 aT；
2) 从真实世界到相机照片的变换可以看成一个射影变换；
3) 想象一个原来是方形的地板砖，在照片中不再是方形的，甚至不再是平行四边形，而是一个不规则的四边形不规则的四边形		 15 接触平面的相交和相切

 

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