半闲居士视觉SLAM十四讲笔记（3）三维空间刚体运动 - part 1 旋转矩阵

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作者：宋洋鹏（youngpan1101）
邮箱： [email protected]

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三维空间的刚体运动描述方式

1. 旋转矩阵

1. 点和向量，坐标系

   • 点：在几何学上点是 没有大小而只有位置，即点存在于三维空间中的某一个位置。
   • 向量： 可以形象化地表示为 带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。
     （请勿将 向量 与它的 坐标 两个概念混淆，只有确定向量所在的坐标系，才能讨论它在该坐标系下的坐标）
   • 定义坐标系后，也就是一个线性空间的 基 (e1,e2,e3) ，向量 a 在该坐标系下的坐标为：
     
     a=[e1,e2,e3]⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=a1e1+a2e2+a3e3(3.1)
   • 左手坐标系 和 右手坐标系（更为常见）
     
   • 向量的运算
     
     • 加减法
     • 内积（inner product）: 可以描述向量间的投影关系
       对于 a,b∈R3 ，内积可以表示为：
       
       a⋅b=aTb=∑i=13aibi=|a||b|cos⟨a,b⟩(3.2)
     • 外积，亦称叉乘（cross product）
       
       • 对于 a,b∈R3 ，外积可以表示为：
         
         a×b=∣∣∣∣ia1b1ja2b2ka3b3∣∣∣∣=⎡⎣⎢a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢0a3−a2−a30a1a2−a10⎤⎦⎥b=a∧b(3.3)
         
         式中 ∧ 为反对称符号（可以读作“上尖”）， a∧ 表示向量 a 的 反对称矩阵。
       • 外积可以表示向量的旋转：向量 a 到 b 的旋转向量 w 的方向就是 a×b 的方向
         

2. 坐标系间的欧氏变换

   对于同一个向量 p ，它在世界坐标系下的坐标 pw 和在相机坐标系下的坐标 pc 是不同的，它们的变换关系由两坐标系间的变换矩阵 T 来描述。（如下图所示，下图来自视觉SLAM十四讲 图3-2）
   

   • 欧氏变换 = 旋转 + 平移
   • 旋转
     设某个单位正交基 (e1,e2,e3) 经过一次旋转变成 (e′1,e′2,e′3) 。对于同一个向量 a （该向量不会因坐标系的旋转而发生运动），它在两个坐标系下的坐标分别为 [a1,a2,a3]T 和 [a′1,a′2,a′3]T ，两坐标点满足：
     
     [e1,e2,e3]⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=[e′1,e′2,e′3]⎡⎣⎢a′1a′2a′3⎤⎦⎥(3.4)
     
     式 (3.4) 左右两边同时左乘 ⎡⎣⎢⎢eT1eT2eT3⎤⎦⎥⎥ ，得
     
     ⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢eT1e′1eT2e′1eT3e′1eT1e′2eT2e′2eT3e′2eT1e′3eT2e′3eT3e′3⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢a′1a′2a′3⎤⎦⎥=Ra′(3.5)
     
     式 (3.5) 中的旋转矩阵 R 的特殊性质：
     
     • 旋转矩阵是行列式为 1 的正交矩阵
     • 旋转矩阵的逆为自身转置，逆矩阵 RT 表示一个相反的旋转
     • 旋转矩阵的集合定义为：
       
       SO(n)={R∈Rn×n|RRT=I,det(R)=1}(3.6)
       
       SO(n) 是特殊正交群（Special Orthogonal Group）， SO(3) 就是由三维空间的旋转矩阵组成。
   • 平移
     向量 a 经过一次旋转 R 和一次平移 t 后，得到 a′ :
     
     a′=Ra+t(3.7)
     
     所以，两个坐标系的刚体运动可以由 R 和 t 完全描述。

3. 变换矩阵与齐次坐标

   欧氏变换多次之后的变换矩阵表示过于复杂，引入齐次坐标和变换矩阵重写式 (3.7):
   

   [a′1]=[R0Tt1][a1]=T[a1](3.8)

   
   式 (3.8) 中的 T 称为变换矩阵，这种矩阵又称为特殊欧式群（Special Euclidean Group）:
   

   SE(3)={T=[R0Tt1]∈R4×4|R∈SO(3),t∈R3}(3.9)

   
   与 SO(3) 一样，该矩阵的逆表示一个反向的变换：
   

   T−1=[R0T−RTt1](3.10)