高维前缀和优化容斥小技巧

现有m个点集\(V_{1...m}\)，设这m个点集所组成的集合\(U=\{V_{1...m}\}\)，先要对于每个集合\(S\subseteq U\)，求\(S\)中所有点集的并集大小。

可以令\(f(S)\)表示\(S\)中所有点集的并集大小，\(g(S)\)表示 \(S\)中所有点集的交集大小，根据容斥原理，有
\[f(S)=\sum_{T\subseteq S} (-1)^{|T|-1}g(T)\]

求出所有\(g(S)\)后高维前缀和即可。

至于如何求\(g(S)\)，可以考虑对每一个点\(x\)，向所有的\(S\)，(其中\(S\)中所有点集的交包含 \(x\))，做贡献，可以发现，若所有包含点\(x\)的点集所组成的集合为\(S'\) ，那么对于所有\(T\subseteq S'\)，点\(x\)都会对\(T\)产生1的贡献，所以直接在数组\(g[S']\) 处加1，然后高维后缀和即可。

一道例题

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