高维前缀和优化容斥小技巧

现有m个点集\(V_{1...m}\),设这m个点集所组成的集合\(U=\{V_{1...m}\}\),先要对于每个集合\(S\subseteq U\),求\(S\)中所有点集的并集大小。

可以令\(f(S)\)表示\(S\)中所有点集的并集大小,\(g(S)\)表示 \(S\)中所有点集的交集大小,根据容斥原理,有
\[f(S)=\sum_{T\subseteq S} (-1)^{|T|-1}g(T)\]

求出所有\(g(S)\)后高维前缀和即可。

至于如何求\(g(S)\),可以考虑对每一个点\(x\),向所有的\(S\),(其中\(S\)中所有点集的交包含 \(x\)),做贡献,可以发现,若所有包含点\(x\)的点集所组成的集合为\(S'\) ,那么对于所有\(T\subseteq S'\),点\(x\)都会对\(T\)产生1的贡献,所以直接在数组\(g[S']\) 处加1,然后高维后缀和即可。

一道例题

转载于:https://www.cnblogs.com/lishuyu2003/p/11295270.html

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