牛客练习赛11B 白兔的式子

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来源：牛客网

已知 f[1][1]=1,f[i][j]=a*f[i-1][j]+b*f[i-1][j-1](i>=2,1<=j<=i)。

对于其他情况f[i][j]=0

有T组询问，每次给出a,b,n,m，求f[n][m] mod (998244353)

输入描述:

第一行为一个整数T，表示询问个数。
接下来一共T行，每行四个整数a,b,n,m。

输出描述:

一共T行，每行一个整数，表示f[n][m] mod (998244353)

示例1

输入

2
2 3 3 3
3 1 4 1

输出

9
27

备注:

T<=100000

1<=m<=n<=100000

0<=a,b<=10⁹

题解：式子的意义可理解为到第i步，走了j米的方法数，每一步往前走1米有b种方法，原地不动有a种方法，则其生成函数为

（ax^0+bx^1）^(n-1),因为限定了f[1][1]，所以求得是第n-1步，走m-1米的方法数，则为(a+bx)^(n-1)展开中第m项。

即为C(m-1,n-1) * a ^ (n-m) * b ^(m - 1)

#include 

using namespace std;
using ll = long long ;
using ld = long double;

#define pb push_back
#define SZ(X) ((int)X.size())
#define mp make_pair
#define Fi first
#define Se second
#define pii pair
#define pll pair
#define pli pair
#define pil pair
#define ALL(X) X.begin(),X.end()
#define RALL(X) X.rbegin(),X.rend()
#define rep(i,j,k) for(int i = j;i <= k;i ++)
#define per(i,j,k) for(int i = j;i >= k;i --)
#define mem(a,p) memset(a,p,sizeof(a))


const ll MOD = 998244353;
ll qmod(ll a,ll b) {ll res=1;a%=MOD; assert(b>=0); for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%MOD;a=a*a%MOD;}return res;}
ll gcd(ll a,ll b) { return b?gcd(b,a%b):a;}

template
void upmax(T& a,T b){if(a
void upmin(T& a,T b){if(a>b) a=b;}

const int N = 1E5 + 7;
ll f[N];

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    f[0] = 1;
    rep(i,1,N-3) f[i] = f[i-1]*i%MOD;
    while(T --) {
        int a, b, n, m;
        scanf("%d %d %d %d",&a, &b, &n, &m);
        ll t1 = f[n-1] * qmod(f[m-1]*f[n-m]%MOD, MOD-2) % MOD;
        ll t2 = qmod(a,n-m);
        ll t3 = qmod(b,m-1);
        ll res = t1 * t2 % MOD * t3 % MOD;
        printf("%lld\n",res);
    }
    return 0;
}