[CF1132E]Knapsack

题目

传送门 to luogu

思路

直接背包肯定是不行滴，背包容量都快到 $\mathtt{l}\mathtt{o}\mathtt{n}\mathtt{g}\mathtt{l}\mathtt{o}\mathtt{n}\mathtt{g}$ 极限了。除非你有欧洲血统。

去网上搜搜题解，发现了爆搜做法，并表示很淦。再找找，发现了合理的背包做法。然后把他俩的结合起来，得到了当前做法。

给出如下性质：从轻到重考虑，在能够选择的前提下，每个物品最多有 $8$ 个不选！

为啥？可以这样考虑，假如我一股脑塞进背包，可能不是最优情况，因为背包的一部分剩余空间没有被充分利用。比如，在重量为 $b$ 时，背包已经只剩下不到 $b$ 的空间了。

假如要放入重量为 $a$ 的物品 $x$ 个，拿出重量为 $b$ 的物品 $y$ 个，导致背包总使用量增大 $c(c<8)$ ，其实就是方程

$$ax-by=c$$

改成同余方程组就是

$$-by\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a)$$

显然在 $y\in [0,a)$ 时，$-by$ 可以取遍所有可能的余数。即：若方程有解，则存在一解使得 $0\le y<a$ 。

根据上一条推出 $by<ab$ ，故 $ax=c+by<a+ab=a(b+1)$ ，所以 $x<b+1$ 即 $x\le b$ 。

此时我们已证 $x\le b\le 8$ 且 $y<a\le 8$ 。故，在 $8$ 个物品以内的调整，就足以满足所有要求。所以我之前的每种重量留下 $8$ 个备用即可！不到 $8$ 个？我全都留下来呗，你还要我怎样？

除了备用重量，其他的一股脑往背包里塞，求出剩余容量，然后对剩余物品进行背包。显然剩余容量最多用到 ${\sum }_{i=1}^{8}8i=288$ ，复杂度完全不用担心呢，即使不用单调队列（或二进制分组）优化，也可以很快的跑过！

代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long int_;
inline int_ readint(){
	int_ a = 0; char c = getchar(), f = 1;
	for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; '0'<=c&&c<='9'; c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}

const int MaxL = 8; // 剩下几个
const int MaxW = MaxL*(8*9>>1);
bool dp[MaxW+1]; // 剩余容量的背包
long long w, ans, cnt[9];

int main(){
	w = readint();
	for(int i=1; i<9; ++i){
		cnt[i] = readint();
		if(cnt[i]*i > w)
			cnt[i] = w/i;
		long long lqy = cnt[i]-MaxL;
		if(lqy < 0) lqy = 0;
		ans += lqy*i, w -= lqy*i;
		cnt[i] -= lqy;
	}
	dp[0] = true; if(w > MaxW) w = MaxW;
	for(int i=1; i<=8; ++i)
	for(int j=w; j; --j) if(!dp[j])
	for(int k=1; k*i<=j&&k<=cnt[i]; ++k)
		if(dp[j-k*i]){ dp[j] = 1; break; }
	for(int j=w; ~j; --j) if(dp[j]){
		printf("%lld",ans+j); break;
	}
	return 0;
}