欧拉函数，欧拉定理，欧拉降幂

欧拉函数

定义：小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目，例如：φ(8)=4，1，3，5，7与8互质。

通式：(其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数)

性质：

p为质数,m为大于0自然数

φ( p)=p-1

欧拉函数是积性函数——若m,n互质

if(m%p==0) φ(p*m) = φ(m)*p

else φ(p*m) = φ( p)*φ(m)

if(m&1) φ(2*m) = φ(m)

else if(m>2)φ(m)为偶数

φ(pm)=φ(pm)-φ(pm-1)

求和：

${\Sigma }_{d|n}=n$
${\Sigma }_{i=1}^n[gcd(i,n)=1]=\phi (n)$
${\Sigma }_{i=1}^{n}i[gcd(i,n)=1]=\lceil \frac{\phi (n)\ast n}{2}\rceil$

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麻瓜(我)的求法：

int gtpi(int n){
	int res=1;
	for(int i=2;i<n;i++)
		if(__gcd(i,n) == 1)res++;
	return res;
}

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O(sqrt(n))求φ(n)：

int phi(int n){
	//if(n==0)return 0;
	int res=n,tmp=n;
	for(int i=2;i*i<=tmp;i++){
		if(tmp%i==0){
			res=res/i*(i-1);
			while(tmp%i==0)tmp/=i;
		}
	}
	if(tmp>1)res=res/tmp*(tmp-1);
	return res;
}

O(n)求1~n所有数的欧拉函数：

const int N;
int prime[N],cnt;
int phi[N];
bool vis[N];

void Get_phi(int n){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;//性质1
        }
        for(int j=0;prime[j]<=n/i;j++){
            int t=prime[j]*i;
            vis[t]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[t]=phi[i]*prime[j];//性质2
                break;
            }
            phi[t]=phi[i]*(prime[j]-1);//性质2
        }
    }
}

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欧拉定理

定义：
欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。
内容：
若n,a为正整数，且n,a互质，则:
$$a^{\varphi (n)}\equiv 1(modn)$$

费马小定理：
若n,a为正整数，且n为质数，则:
$$a^{\varphi (n)}\equiv 1(modn)>>a^{n-1}\equiv 1(modn)$$

逆元：
$$a^{\varphi (n)-1}$$

证明：

设x（1），x（2），…，x(φ(n))是一个以n为模的缩系，
则ax（1），ax（2），…，ax（φ(n) ）也是一个以n为模的缩系（因为（a，n）=1）。
于是有ax（1）ax（2）…ax（φ(n) ）≡x（1）x（2）…x(φ(n))（mod n），
所以a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。证毕。

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欧拉降幂

显然：
$$a^b\equiv \{\begin{array}{llc}{a}^{b\%\varphi (p)}& \text{if }gcd(a,p)=1& \\ a^b& \text{if }gcd(a,p)\ne 1,b<\varphi (p)& (modp)\\ a^{b\%\varphi (p)+\varphi (p)}& \text{if }gcd(a,p)\ne 1,b>=\varphi (p)& \end{array}$$
然后就可以愉快地做题了
例如： 牛客的
简单数据结构1
Ternary String
子序列
[SDOI2008]仪仗队洛谷也有一样的 ，但好像数据不太一样