2020牛客多校（第三场）- F.Fraction Construction Problem

大致题意：

给你两个正整数 $a$ 和 $b(a,b\le 2\times 10^6)$ ，要求出 四个正整数 $c,d,e,f$ 满足

• $\frac{c}{d}-\frac{e}{f}=\frac{a}{b}$
• $d<bandf<b$
• $1\le c,e\le 4\times 10^{12}$

无解则输出 “-1 -1 -1 -1”

分析：

首先 $b!=1$ 显然，因为 $d<bandf<b$ 无法满足，然后考虑 $a,b$

①：$gcd(a,b)>1$
可以构造出 $\frac{a/gcd(a,b)+1}{b/gcd(a,b)}-\frac{1}{b/gcd(a,b)}=\frac{a/gcd(a,b)}{b/gcd(a,b)}=\frac{a}{b}$

②：$gcd(a,b)=1$
因为$\frac{c}{d}-\frac{e}{f}=\frac{cf-ed}{df}=\frac{a}{b}$ ，
所以有 $cf-ed=ka,df=kb(k>=1)$
此时

1. $b$ 不能为质数，否则 $d$ 或 $f$ 其中一个必须包含 $b$ 才能满足 $df=kb$ ，但此时又无法满足 $d<bandf<b$ ，矛盾；
2. $b$ 不能为质数幂次，否则假设 $b=p^t,d=k_1{p}^a,f=k_2{p}^b,k=k_1{k}_2,t=a+b$ ，那么 $lcm(d,f)$ 中 $p$ 的幂次小于 $b$ 中 $p$ 的幂次是显然的，而 $\frac{a}{b}$ 又是最简化形式，矛盾；
3. $b$ 的质因数 $>1$ ，假设 $b=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}{p}_3^{e_3}\cdots$ ，令 $d=p_1^{e_1},f=b/d$ ，那么 $gcd(d,f)=1$ ，所以 $cf-ed=ka$ 一定有解，用扩展欧几里得
   计算即可

代码：

#include
using namespace std;
#define ll long long
#define pb push_back
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define frep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
const int N = 2E6+10;
int cnt,pr[N];
bool is_p[N];

void prime(int n)
{
	memset(is_p,true,sizeof is_p);
	is_p[1]=0;
    rep(i,2,n){
    	if(is_p[i]) pr[++cnt]=i;
    	for(int j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<=n;j++){
    		is_p[i*pr[j]]=0;
    		if(i%pr[j]==0)break;
		}
	}
}

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(!b){
		y=0,x=1;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
}

int main()
{
	//freopen("1.txt","r",stdin);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	
    prime(2e6); 
    int t; cin>>t;
    while(t--)
    {
    	ll a,b,c,d,e,f,k,x,y;
    	cin>>a>>b;
    	if(__gcd(a,b)>1){
    		k=__gcd(a,b);
    		cout<<a/k+1<<" "<<b/k<<" "<<1<<" "<<b/k<<endl;
			continue; 
		}
		if(b==1||is_p[b]){
			cout<<"-1 -1 -1 -1"<<endl;
			continue;
		}
		d=1,f=b;
		for(int i=1;i<=cnt&&pr[i]*pr[i]<=f;i++)
		if(f%pr[i]==0)
		{
			while(f%pr[i]==0) d*=pr[i],f/=pr[i];
			break;
		}
		
		if(f==1){
			cout<<"-1 -1 -1 -1"<<endl;
			continue;
		}
		
		exgcd(f,d,x,y);
		c=x*a,e=y*a;
		if(c<0) swap(d,f),swap(c,e);
		cout<<c<<" "<<d<<" "<<-e<<" "<<f<<endl;
		
	}
}