约瑟夫斯问题及其编程

约瑟夫斯（Josephus）问题是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。并且约瑟夫斯问题的描述是这样的：有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

    然后问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？

    在约瑟夫斯问题里详细介绍了其中k=2时此问题的数学方式的解法，并得到了一个可以通过数学归纳法证明的定理：

如果且，则。

    比较令人眼前一亮的是这个结论的表现形式竟与整数n的二进制表示有关：即把n的第一位移动到最后，便得到。如果n的二进制表示为，则。这点很容易证明：因n的第一位是1，并且其余位的十进制值就是l，然后左移一位（即2*l）再加上第一位的值就变成了的值了。

    接着使用动态规划的方法得到一般情况下（即）的递推公式：

当n=1时，；

但n>1时，

此时先开始用数学方法来实现约瑟夫斯问题的编程，其代码如下（使用递推方式）：

#include 

using namespace std;

int Josephus(int n, int k);

int main()
{
    int n, k, ret;
    cout << "Please Enter Two number(n, k): ";
    cin >> n >> k;
    
    ret = Josephus(n, k);
    
    cout << "The final winner is " << ret << endl;
    
    system("pause");
    return 0;
    }
    
    int Josephus(int n, int k)
    {
        int ret;
        if(1 == n)
             return ret = 1;
        else
        {
            ret = (Josephus(n-1, k) + k)%n;
            if(0 == ret)
                 ret = n;
            return ret;
            }
        }

当输入n=9、k=5时最后一个数是8，下图就是执行的结果：

注意：这里必须要对Josephus(n, k)的值进行判断，因Josephus(n-1, k)+k>=k>0，所以当Josephus(n, k)为0时，必须要将其赋值为n。（为什么是n而不是n*m？其中m是大于1的任意正整数）

例如注释掉上述代码中的这段代码：if(0 == ret) ret = n;

执行的结果如下所示：

此时结果是错误的，最后留下来的人应该是9才对。

同时这里的递推可以用循环来实现：

#include 

using namespace std;

int main()
{
    int n, k, ret = 1, i;
    cout << "Please Enter Two Number(n, k): ";
    cin >> n >> k;
    
    for(i = 2; i <= n; i++)
    {
          ret = (ret + k)%i;
          if(0 == ret)
               ret = i;
          }
          
    cout << "The final winner is " << ret << endl;
    
    system("pause");
    return 0;
    }

执行结果如下图所示：

接下来使用链表方法来实现：

这里解决这个问题的核心步骤（即程序的基本算法）是：

1）建立一个具有n个链接点而无头结点的循环链表；

2）确定第一个报数人的位置即m；

3）不断地从该链表中删除报数人处的链接点，直到该链表为空。

其代码如下：

#include 

using namespace std;

typedef struct node
{
        int data;
        struct node *next;
        }Node;
        
void createList(Node* &head, Node* &tail, int n);
void print(Node* &head);
void countPrint(Node* &head, Node* &tail, int k);

int main()
{
    Node *head, *tail;
    int n, k;
    cout << "Please Enter Two numbers(n, k): ";
    cin >> n >> k;
    
    createList(head, tail, n);
    print(head);
    countPrint(head, tail, k);
    
    system("pause");
    return 0;
    }
    
void createList(Node* &head, Node* &tail, int n)
{
     if(n < 1)
     {
          head = NULL;
          return;
          }
     head = new Node;
     head->data = 1;
     head->next = NULL;
     
     Node *p = head;
     for(int i = 2; i < n+1; i++)
     {
             p->next = new Node;
             p = p->next;
             p->data = i;
             p->next = NULL;
             }
     
     tail = p;
     p->next = head;
     }
     
void print(Node* &head)
{
     Node *p = head;
     
     do
     {
             cout << " " << p->data << " ";
             p = p->next;
             }while(p != head);
     cout << "\n";
     }
     
void countPrint(Node* &head, Node* &tail, int k)
{
     Node *cur = head;
     Node *pre = tail;
     
     int cnt = k;
     while(cur && cur != cur->next)
     {
               if(--cnt)
               {
                        pre = cur;
                        cur = cur->next;
                        }
               else
               {
                   pre->next = cur->next;
                   cout << " " << cur->data << " ";
                   delete cur;
                   cur = pre->next;
                   cnt = k;
                   }
               }
     if(cur == cur->next)
     {
                   cout << " " << cur->data << endl;
                   delete cur;
                   head = tail = NULL;
                   }
     }

执行结果如下图所示：

参考资料： http://blog.csdn.net/zhuimengzh/article/details/6727221