数值分析(2)-非线性方程组求根
数值分析2.非线性方程组求根
- 非线性方程求根
- 二分法
- 不动点迭代
- 不动点迭代全局收敛性
- 收敛域和收敛阶
- Steffensen迭代格式
- Newton 迭代
- Newton迭代推广
- 有重根
- 割弦法
非线性方程求根
二分法
二分法计算过程中第 k k k个区间 [ a k , b k ] [a_k,b_k] [ak,bk]的中点 x k x_k xk满足不等式
∣ x k − α ∣ ≤ 1 2 k ( b − a ) |x_k- \alpha| \leq \frac{1}{2^k}(b-a) ∣xk−α∣≤2k1(b−a)
其中 α \alpha α位方程在这个区间的唯一解。
不动点迭代
不动点迭代全局收敛性
对于方程 x = φ ( x ) x=\varphi(x) x=φ(x),若 φ ′ ( x ) \varphi '(x) φ′(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续并且
（1）当 x ∈ [ a , b ] x \in [a,b] x∈[a,b]时， φ ( x ) ∈ [ a , b ] \varphi (x) \in [a,b] φ(x)∈[a,b]
（2）存在常数 0 < L < 1 0
则
（1） φ ( x ) \varphi (x) φ(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有唯一不动点 α \alpha α
（2）对任意初值 x 0 ∈ [ a , b ] x_0 \in [a,b] x0∈[a,b],迭代格式 x k + 1 = φ ( x k ) x_{k+1}=\varphi (x_k) xk+1=φ(xk)收敛且 lim t → ∞ x k = α \lim_{t \to \infty}x_k=\alpha limt→∞xk=α
（3）序列 x k k = 0 ∞ {x_k}_{k=0}^\infty xkk=0∞有误差估计式
∣ x k − α ∣ ≤ L 1 − L ∣ x k − x k − 1 ∣ |x_k-\alpha|\leq \frac{L}{1-L}|x_k-x_{k-1}| ∣xk−α∣≤1−LL∣xk−xk−1∣
∣ x k − α ∣ ≤ L k 1 − L ∣ x 1 − x 0 ∣ |x_k-\alpha|\leq \frac{L^k}{1-L}|x_1-x_{0}| ∣xk−α∣≤1−LLk∣x1−x0∣
以及误差的渐近表达式
lim k → ∞ x k − α x k − 1 − α = φ ′ ( α ) \lim_{k \to \infty}\frac{x_k-\alpha}{x_{k-1}-\alpha}=\varphi '(\alpha) k→∞limxk−1−αxk−α=φ′(α)
收敛域和收敛阶
迭代格式 x k + 1 = φ ( x ) x_{k+1}=\varphi(x) xk+1=φ(x)为 p p p阶收敛的冲要条件是：
φ ( α ) = α , φ ′ ( α ) = φ ′ ′ ( α ) = . . . = φ ( p − 1 ) ( α ) = 0 , φ ( p ) ( α ) ≠ 0 \varphi(\alpha)=\alpha,\varphi'(\alpha)=\varphi''(\alpha)=...=\varphi^{(p-1)}(\alpha)=0,\varphi^{(p)}(\alpha) \neq0 φ(α)=α,φ′(α)=φ′′(α)=...=φ(p−1)(α)=0,φ(p)(α)=0
并且有
lim k → ∞ e k + 1 e k p = 1 p ! φ ( p ) ( α ) ≠ 0 \lim_{k \to \infty}\frac{e_{k+1}}{e_k^p}=\frac{1}{p!}\varphi^{(p)}(\alpha)\neq 0 k→∞limekpek+1=p!1φ(p)(α)=0
Steffensen迭代格式
对于迭代格式 x k + 1 = φ ( x k ) x_{k+1}=\varphi(x_k) xk+1=φ(xk),可以用下面的式子进行迭代加速
x k + 1 = ψ ( x k ) x_{k+1}=\psi (x_k) xk+1=ψ(xk)
其中
ψ ( x k ) = x − [ φ ( x ) − x ] 2 φ ( φ ( x ) ) − 2 φ ( x ) + x \psi(x_k)=x-\frac{[\varphi(x)-x]^2}{\varphi(\varphi(x))-2\varphi(x)+x} ψ(xk)=x−φ(φ(x))−2φ(x)+x[φ(x)−x]2
Newton 迭代
对于方程 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0构造下面迭代公式
x k + 1 = x k − f ( x ) f ′ ( x ) x_{k+1}=x_k-\frac{f(x)}{f'(x)} xk+1=xk−f′(x)f(x)
收敛性判断：
对于给定的 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0，如果 f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，且：
（1） f ( a ) f ( b ) < 0 f(a)f(b)<0 f(a)f(b)<0;
（2）对任何 x ∈ [ a , b ] , f ′ ( x ) ≠ 0 , f ′ ′ ( x ) ≠ 0 ; x \in [a,b],f'(x)\neq 0,f''(x)\neq 0; x∈[a,b],f′(x)=0,f′′(x)=0;
（3）取 x 0 ∈ [ a , b ] x_0 \in [a,b] x0∈[a,b]，使得 f ( x ) f ′ ′ ( x ) > 0 f(x)f''(x)>0 f(x)f′′(x)>0.
则该函数在区间有唯一解，并且有
lim k → ∞ x k + 1 − α ( x k − α ) 2 = f ′ ′ ( α ) 2 f ′ ( α ) \lim_{k \to \infty}\frac{x_{k+1}-\alpha}{(x_k-\alpha)^2}=\frac{f''(\alpha)}{2f'(\alpha)} k→∞lim(xk−α)2xk+1−α=2f′(α)f′′(α)
表明Newton迭代二阶收敛。
如果将上面的定理（3）改成:
（3） ∣ f ( a ) f ′ ( a ) ∣ ≤ b − a , ∣ f ( b ) f ′ ( b ) ∣ ≤ b − a |\frac{f(a)}{f'(a)}|\leq b-a,|\frac{f(b)}{f'(b)}|\leq b-a ∣f′(a)f(a)∣≤b−a,∣f′(b)f(b)∣≤b−a
则对任何初值 x 0 ∈ [ a , b ] x_0\in [a,b] x0∈[a,b]，Newton都收敛。
Newton迭代推广
有重根
对于m重根，取下面格式
x k + 1 = x k − m f ( x k ) f ′ ( x k ) x_{k+1}=x_k-m\frac{f(x_k)}{f'(x_k)} xk+1=xk−mf′(xk)f(xk)
同时，对于某个根的重数，可以用下面公式估计
m ≈ x k − x k + 1 x k + 2 − 2 x k + 1 + x k m \approx \frac{x_k-x_{k+1}}{x_{k+2}-2x_{k+1}+x_k} m≈xk+2−2xk+1+xkxk−xk+1
割弦法
对于有时候函数导数很难求的情况下，用原函数近似，取
f ′ ( x ) ≈ f ( x k ) − f ( x k − 1 ) x k − x k − 1 f'(x)\approx \frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}} f′(x)≈xk−xk−1f(xk)−f(xk−1)
带入最初Newton迭代公式