偏微分方程的类型及求解（二）（备份草稿）

续《偏微分方程的类型及求解》（一）。
四. 附录
4.1 傅立叶变换的性质
变换形式： （1）傅立叶变换 \hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}e{-j\omega x}f(x)dx ,傅立叶逆变换 f(x)=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e{jx\omega}\hat f(\omega)d \omega ； （2）傅立叶余弦变换 \hat f(\omega)=\int_{0}^{+\infty}cos \omega xf(x)dx ,傅立叶逆变换 f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}cosx \omega\hat f(\omega)d \omega ； （3）傅立叶正弦变换 \hat f(\omega)=\int_{0}^{+\infty}sin \omega xf(x)dx ,傅立叶逆变换 f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}sinx \omega\hat f(\omega)d \omega 。
性质
共11个：线性定理、卷积定理、乘积定理、导函数的傅立叶变换、象函数的导数定理、延迟定理、位移定理、积分定理、 \delta 函数的傅立叶变换、相似定理、函数傅立叶正逆变换定理。
要能够写出来，以及要会证明！证明在教材P112-114页，套路一般就两个：要么变量名替换直接正推，要么傅立叶逆变换替换进行逆推。（这些性质实际上给出了特殊形式的原函数的象函数，在以后计算过程中遇到类似的，要能够马上反映过来并套用公式）
例题
1.教材P116 5.1-1,证明： （1） F^{{-1}(\exp(-y|\omega|))=\frac{1}{\pi}\frac{y}{x}2+y^2},y>0 ；（2） F(e^{j \omega_0x}f(x))=\hat f(\omega-\omega_0) ；（3） F(f(at))=\frac{1}{|a|}\hat f(\frac{\omega}{a}) 。
2.教材P116 5.1-2(2),求函数的傅立叶变换： f(x)=\exp(-\pi x^2) 。
答案： e^{{\frac{-\omega}2}{4 \pi}} 。
3.教材P116 5.1-5,求函数 f(x) \begin{equation} =\left{ \begin{aligned} &1-x^2,|x|<1\ &0,|x|\geq 1 \end{aligned} \right. \end{equation} 的傅立叶变换。
答案： \frac{4}{\omega^3}(sin\omega-\omega cos \omega)
4.2 拉普拉斯变换的性质
变换形式： 拉普拉斯变换 \tilde{f(s)}=\int_0^{+\infty}e{-sx}f(x)dx ，拉普拉斯逆变换用展开定理 f(x)=\sum_{k=1}^{n\operatorname{Res}[e}{xs}f(s),s_k]\quad(x\geq 0) ,其中 \operatorname{Res}[e^{xs}f(s),s_k] 表示 e^{xs}f(s) 对应于奇点 s_k 的留数，若 z_0 为 f(z) 的m阶极点，则 \operatorname{Res}f(z_0)=\lim_{z \to z_0}\frac{1}{(m-1)!}{\frac{d^{m-1}}{dz{m-1}}[(z-z_0^m)f(z)]} （很机械，直接套用公式即可）
性质
共10个：线性定理、卷积定理、导函数的拉普拉斯变换、象函数的导数定理、延迟定理、位移定理、积分定理、\delta 函数的拉普拉斯变换、相似定理、象函数的积分定理。
例题
1.教材P132 5.3-3,用留数计算 L^{{-1}(\frac{1}{s(\omega}2+s^2)}(1-e{-\frac{s}{a}x})) 。
答案：
2.教材P132 5.3-5,求 L(t^ne{at}) 。
答案：
3.教材P132 5.3-7,求下列函数的Laplace变换：（1） \frac{s+8}{s^2+4s+5} ；（2） \frac{s}{(s^2+a2)^2},(a>0) 。
答案：
4.3 Bessel函数
4.3.1 Bessel方程
x\frac{d}{dx}(x\frac{dy}{dx})+(x^2-n2)y=0 ，即 x^2\frac{d2y}{dx^{2}+x\frac{dy}{dx}+(x}2-n^2)y=0
该方程的引入在教材P184-185页（圆盘的瞬时温度分布例子，在高维混合圆域分离变量的求解过程中得到的变系数线性常微分方程）。
教材P190 7.1-4：会利用Bessel方程来判断一个解是否是属于一个方程！
4.3.2 第一类Bessel函数及其性质
形式
n阶的第一类Bessel函数：J_n(x)=\sum_{m=0}^\infty(-1)m \frac{x^{n+2m}}{2{n+2m}m!\Gamma(n+m+1)},n \geq 0
负n阶的第一类Bessel函数： J_{-n}(x)=\sum_{m=0}^\infty(-1)m \frac{x^{-n+2m}}{2{-n+2m}m!\Gamma(-n+m+1)},n \geq 0
当n为整数时，称为第一类整数阶Bessel函数；当n不为整数时，称为第一类分数阶Bessel函数，有：
J_n(x)\approx\frac{1}{\Gamma(n+1)}(\frac{x}{2})^n \to 0,(x \to 0, n \to \infty)
J_{-n}(x)\approx\frac{1}{\Gamma(-n+1)}(\frac{x}{2})^{-n} \to \infty,(x \to 0, n \to \infty)
可以得到非整数n阶Bessel方程的通解为 y=AJ_n(x)+BJ_{-n}(x) 。
它是Bessel方程的一个特解。
注意： \Gamma 函数表达式为 \Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t{x-1}e^{-t}dt,x>0 ,它具有性质 \Gamma(x+1)=x\Gamma(x),\Gamma(1)=1,\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi},\Gamma(n+1)=n!,n \in N 。
教材P190 7.1-2 ：当作结论来记！
性质
（1） J_n(x) 和 J_{-n}(x) 的收敛范围为 0<|x|<\infty ；
（2）当n为整数时， J_{-n}(x)=(-1)^{nJ_n(x),J_n(-x)=(-1)}nJ_n(x)
教材P190 7.1-3：要会灵活使用来完成证明！
（3）递推公式： \frac{d}{dx}(x^nJ_n(x))=xnJ_{n-1}(x), \frac{d}{dx}(x^{{-n}J_n(x))=-x}{-n}J_{n+1}(x), J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)=\frac{2}{x}nJ_n(x), J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)=2J’n(x) 。
教材P194 例2,例3：记住证明题的2个结论的J{-\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\operatorname{cos}x,J_{\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\operatorname{sin}x ；对于例3反映的问题就多了！n没说要大于0，它的正负由是否与 J_n(x) 的n一样而定，且 J_{-1}(x) 的形式要会使用递推公式一下辨别出来，因为有个 x^0=1 所以容易误认为没有前面的元素，其实就是1！
教材P197 7.2-4：观察，这里没法利用 J_{-\frac{1}{2}}(x),J_{\frac{1}{2}}(x) 的结论，那就使用另一组递推公式啦！而且不需要非得算出某个数值或表达式，只要把积分符号弄掉就可以啦！
教材P197 7.2-3：注意凑幂次该怎么凑，要根据公式来的！
（4）第一类Bessel函数的母函数（生成函数）： e^{{\frac{x}{2}(z-\frac{1}{z})}=\sum_{n=-\infty}}{+\infty}J_n(x)z^n ，其中z为复变量， x 为参数；
（5）整数阶第一类Bessel函数的加法公式 J_n(x+y)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}J_k(x)J_{n-k}(y) ;
教材P191 例1：用母函数做证明的！
（6）第一类Bessel函数的零点： x_k \approx k\pi+\frac{n\pi}{2}+\frac{3 \pi}{4},k\in Z （ J_n(x) 零点的近似公式）
对最先引入Bessel函数时的圆盘温度分布问题，Bessel方程的固有值问题为 \begin{equation}\left{ \begin{aligned} &r^2P{’’}®+rP^{’}®+(\lambda r^2-n2)P®=0,0 4.3.3 第二类Bessel函数及其性质
形式
Y_{\alpha}(x)=\frac{J_{\alpha}(x)cos \alpha \pi-J_{-\alpha}(x)}{sin \alpha \pi} 或 Y_{n}(x)=\operatorname*{lim}{\alpha \to n}\frac{J{\alpha}(x)cos \alpha \pi-J_{-\alpha}(x)}{sin \alpha \pi}
不论n是否为整数， Bessel方程的通解都可表示为 y=AJ_n(x)+BY_n(x) 。
性质
（1）递推公式： \frac{d}{dx}(x^nY_n(x))=xnY_{n-1}(x), \frac{d}{dx}(x^{{-n}Y_n(x))=-x}{-n}Y_{n+1}(x), Y_{n-1}(x)+Y_{n+1}(x)=\frac{2}{x}nY_n(x), Y_{n-1}(x)-Y_{n+1}(x)=2Y’n(x) 。
4.3.4 定理
（1）展开定理
教材P199 定义1和定理2，定义1相当于矩阵的范数，这里是函数的“范数”；定理2是展开定理的公式，相当于广义的傅立叶级数展开。
4.4 Legendre多项式
4.4.1 Legendre方程
，当n不为整数时它的通解为
，其通解在 都不等于0的情况下，收敛区间为 。
该方程的引入在教材P213-214页，它是在球坐标系中的Laplace方程进行分离变量时得到的，能找到该方程的两个线性无关的解，那么就得到该方程的通解。（而前面的Bessel方程是在含xyt三变量的圆域分离变量时）
4.4.2 第一类Legendre函数及其性质
形式
n次的Legendre多项式（或称为第一类Legendre函数）为 。
特别地， 等（更多见教材P217页）
勒让德方程中研究它是因为当n为正奇数（或负偶数）时，通解中的 是n次（或-n-1次）多项式；当n为正偶数（或负奇数）时， 是n次（或-n-1次）多项式，则第一类勒让德函数就是n为整数时，上述多项式的一般表达式。
在计算机科学中勒让德多项式的应用较为广泛，因为计算机在处理多项式时大多会把它展开成第一类勒让德函数，因为可以把一个普通多项式通过待定系数法转换为一个勒让德多项式。
性质
（1） 满足Rodrigues公式 。
（2）递推公式： (2n+1)xP_n(x)-nP{n-1}(x)=(n+1)P_{n+1}(x) ， P’{n-1}(x)=xP’n(x)-nP_n(x) ， nP{n-1}(x)+xP’{n-1}(x)=P’_n(x) 。
必须要熟练证明，教材P221-222！
（3）母函数（生成函数）： 。
由此可以得到结论： (证明在教材P221页)，以及 （证明在PPT28-28页），还有 （证明在PPT28-29页）。
（4） 。
4.3.3 定理
（1）正交性
勒让德多项式序列 在区间[-1,1]上正交，即 。
（2）归一性定理
勒让德多项式满足 。
（3）展开定理
。
4.5 Green函数法

4.6 方程的化简
化简步骤

1. 整理成标准形式：a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_1u_x+b_2u_y+cu=f，如果是含时空的，则时间占主导，即x替换为t，y替换为x；
2. 写出特征方程： a_{11}(\frac{dy}{dx})^2-2a_{12}(\frac{dy}{dx})+a_{22}=0 ，这是个定义，照着写就好（注意：(a) 题目给出的方程的系数，对于 a_{12} ，要记得加工除以2，且注意是减号！(b)做分子的是标准形式中非主导地位的参量）；
3. 判断类型： \Delta=a_{12}^2-a_{11}a_{12} ，如果 \Delta>0 ，则为双曲型；如果 \Delta<0 ，则为椭圆型；如果 \Delta=0 ，则为抛物型；
4. 写出特征线方程：双曲型和椭圆型，令 \begin{equation}\left{ \begin{aligned} &\xi=\varphi_1(x,y)\ &\eta=\varphi_2(x,y) \end{aligned} \right. \end{equation} ；抛物型，令 \begin{equation}\left{ \begin{aligned} &\xi=\varphi(x,y)\ &\eta=x(或y) \end{aligned} \right. \end{equation}（实则就是解出来的根，以主导参量表示为积分后的形式，那么一定会在后面跟着一个常数C，这个常数C就是 \xi，\eta ，注意首先把它变换为“整系数“和“主导变量系数为正“的形式）；
5. 求出变换方程： \begin{bmatrix} \overline{a}{11}&\overline{a}{12}\ \overline{a}{12}&\overline{a}{22} \end{bmatrix} =Q\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\ a_{12}&a_{22} \end{bmatrix}Q^T ，其中 Q=\begin{bmatrix} \xi_x & \xi_y\ \eta_x&\eta_y \end{bmatrix} ， \overline{b}1=L \xi-c \xi,\overline{b}2=L \eta-c \eta,\overline{c}=c,\overline{f}=f （后面的这几个一般不会涉及到的）。
   例题
   教材P38 2.4-2(4)，求下列方程的通解 3u{xx}+4u{xy}+u_{yy}=0 。
   答案： u=\varphi_1(x-3y)+\varphi_2(x-y) 。
   注意：特征方程的积分曲线称为偏微分方程的特征线，这样子组合起来就是原问题的通解咯！外面的映射需要后面求的，结合公式和定解条件等等，此处不用操心，直接写便是！
6. 教材P36 例1，求方程 u_{tt}-a^2u_{xx}=0 的通解。
   答案： u=\varphi_1(x+at)+\varphi_2(x-at) 。（在熟悉不过了，且注意映射名用哪个都可以，不影响）
7. 教材P37 例2，讨论方程 x^{2u_{xx}+2xyu_{xy}+y}2u_{yy}=0 的类型，并化成标准型，再求通解。
   答案： u=yf(\frac{y}{x})+g(\frac{y}{x}) 。
8. 指导教程P265-1，将方程 u_{xx}+5u_{xy}+4u_{yy}+7u_y=\operatorname{sin}x 化为标准型。
   答案： -9u_{\xi \eta}+7(u_{\xi}+u_{\eta})=\operatorname{sin}\frac{\xi-\eta}{3} 。
   4.7 定解问题的建模
   基本物理规律
   牛顿第二定律、转动定律、虎克定律、傅立叶实验定律（热传导定律）、牛顿冷却定律、热量守恒定律、扩散实验定律、电荷守恒定律、库仑定律、高斯定律、焦耳-楞次定律、基尔霍夫定律（2个）、法拉第电磁感应定律。（教材第16-17页，以及指导手册第1-3页）
   例题
   教材的作业题、指导手册的例题、教材的例题都看一遍！
   参考资料
   【1】李明奇，田太心. 《数学物理方程》（第二版）. 电子科技大学出版社.
   【2】李明奇，杨春. 《数学物理方程学习指导教程》. 电子科技大学出版社.