行严格对角占优矩阵——一道矩阵代数作业题

今年（2018年）11月20日的矩阵代数课上老师布置了一道课后作业题，题目如下：
已知矩阵 $A=\left(a_{ij}\right)\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$为行严格对角占优矩阵，记
$$H_i=\left|a_{ii}\right|-\sum _{j=1,j̸=i}^n\left|a_{ij}\right|(1)$$
其中 $i,j=1,...,n$ ，则有 $H_i>0$ 。
证明：
$$abs\left|A\right|\ge H_1{H}_2...H_n(2)$$
其中，$\left|A\right|$表示$A$的行列式。

解题时，已知
$$\left|A\right|=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i$$
则
$$abs\left|A\right|=\prod _{i=1}^n\left|{\lambda }_i\right|$$
若对每一个 $H_i$ 都存在一个 ${\lambda }_k$ 使得 $\left|{\lambda }_k\right|>H_i$， 则可证得原命题。
因此，首先想到的是Gerschgorin（盖尔）圆盘定理，因为它与(1)式有相似的表达形式，但由于连通域的存在，无法保证保证每个盖尔圆都只有一个特征值，因此该思路不通。
然后就是在网上检索该题目的答案，最后找出来了，在$FelixR.Gantmacher$所著的$《Matrizentheorie》$$p455$（德语，矩阵论）。
书中给出的证明如下：
定义矩阵$F=\left(f_{ij}\right)\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$，其中
$$f_{ij}=\frac{a_{ij}}{H_i}$$
则有
$$\begin{array}{rl}& \left|f_{ii}\right|-\sum _{j=1,j̸=i}^n\left|f_{ij}\right|\\ & =\left|\frac{a_{ii}}{H_i}\right|-\sum _{j=1,j̸=i}^n\left|\frac{a_{ij}}{H_i}\right|\\ & =\frac{1}{\left|H_i\right|}\ast \left(\left|a_{ii}\right|-\sum _{j=1,j̸=i}^n\left|a_{ij}\right|\right)\\ & =\frac{H_i}{\left|H_i\right|}=1(3)\end{array}$$
取矩阵 $F$ 的任一特征值 ${\lambda }_0$ ，其对应的特征向量为 $\{x_1,x_2,...,x_n{\}}^{\top }$ ，记 $\left|x_k\right|={\max }_{1\le i\le n}\{\left|x_i\right|\}>0$，则有
$$\begin{array}{rl}{\lambda }_0{x}_k& =\sum _{j=1}^n{f}_{kj}{x}_j\\ & =f_{kk}{x}_k+\sum _{j=1,j̸=k}^n{f}_{kj}{x}_j(4)\end{array}$$
结合（3）式有
$$\begin{array}{rl}\left|{\lambda }_0{x}_k\right|& =\left|{\lambda }_0\right|\left|x_k\right|\\ & =\left|f_{kk}{x}_k+\sum _{j=1,j̸=k}^n{f}_{kj}{x}_j\right|\\ & \ge \left|f_{kk}{x}_k\right|-\left|\sum _{j=1,j̸=k}^n{f}_{kj}{x}_j\right|\\ & \ge \left|f_{kk}{x}_k\right|-\sum _{j=1,j̸=k}^n\left|f_{kj}{x}_j\right|\\ & \ge \left|f_{kk}\right|\left|x_k\right|-\sum _{j=1,j̸=k}^n\left|f_{kj}\right|\left|x_k\right|\\ & \ge \left|x_k\right|\ast \left(\left|f_{kk}\right|-\sum _{j=1,j̸=k}^n\left|f_{kj}\right|\right)\\ & =\left|x_k\right|\end{array}$$
由于$\left|x_k\right|>0$，从而得到
$$\left|{\lambda }_0\right|\ge 1$$
由${\lambda }_0$的任意性知，矩阵$F$的所有特征值的绝对值均大于等于1。从而
$$abs\left|F\right|=\prod _{i=1}^n\left|{\lambda }_i\right|\ge 1(5)$$
另一方面，有
$$\left|F\right|=\frac{\left|A\right|}{H_1{H}_2...H_n}(6)$$
结合（5）、（6）式可得到（2）式
$$abs\left|A\right|\ge H_1{H}_2...H_n$$
证毕。

书中还提到若矩阵 $A=\left(a_{ij}\right)\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$为列严格对角占优矩阵，记
$$G_i=\left|a_{ii}\right|-\sum _{j=1,j̸=i}^n\left|a_{ji}\right|(7)$$
则有
$$abs\left|A\right|\ge G_1{G}_2...G_n(8)$$
可利用$\left|A\right|=\left|A^{\top }\right|$，结合上述方法证明。