线性代数从零开始详解笔记【线性方程组】

线性方程组

0.引言

1. 在面对一个具体的问题时，一般而言我们会首先关注这个问题“有没有答案”——这就是所谓 「解的存在性」。
2. 如果所研究的问题是有答案的，进一步地我们会关心这个问题的“答案是不是只有一个”——这 就是所谓 「解的唯一性」。
3. 如果我们对上述两个问题的回答是：答案唯一地存在，那么接下来我们想要知道是否能有统一的 方法来找到这个解；如果我们的回答是：答案存在但是不唯一，我们就要问：能否把每一个答案 全部找到？并且能否说清楚这个问题不同答案之间的相互关系——换言之，我们想要研究线性方程组 「解的结构」。

1. 解

正如引言所说的，我们研究是：解的存在性，解的唯一性，解的结构，这三者是解的核心。

• 系数矩阵$A$：只有系数组成
• 增广系数矩阵$\bar{A}$（带等号右边的常数）。

1.1 解和矩阵秩的关系

• 唯一解：$r(A)=r(\bar{A})=未知数个数$（有解）
• 无穷解：$r(A)=r(\bar{A})<未知数个数$（有解）
• 无解：$r(A)\ne r(\bar{A})$

解题怎样判断秩是否相等？
第一步：写出$\bar{A}$
第二步：只做初等行变换，把增广系数矩阵化成阶梯型，看非零行行数是否相同

接下来，我们除了能够判断解的情况，还能写出结果。

假如我们的增广系数矩阵化成：$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& 4& 5\\ 0& 1& 1& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$，秩相同，所以有解，有四个未知量，所以有无穷解。

写出一般解：
$\{\begin{array}{l}{x}_1=5-3x_3-4x_4\\ x_2=2-x_3-x_4\end{array}$

我们管$x_2,x_3,x_4$叫做自由未知量

像这种增广系数矩阵就是无解：

$\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 4\end{array}\right]$

2. 齐次线性方程组

2.1 零解和非零解

齐次线性方程组就是常数项是0的方程组。比如：$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=0\\ x_1-5x_2=0\end{array}$

记住：齐次线性方程组一定有解，至少有0解

• 零解：所有未知量都取0。
• 非零解：解里面不全为0

至于一定有解也不难理解，当我们画出增广系数矩阵的时候，最右边都是0，增广系数矩阵和系数矩阵一样了。

所以，我们对于齐次方程组关心的焦点在于：是否有非零解。

也就是关注r(A)和未知数个数n的关系

这里需要注意的是，因为有唯一解的时候就只有零解了，唯一的零解。

（以后n都代表未知数个数）

要想有非零解，就必须满足：r(A)

要是和可逆的性质挂钩的话：

• 有非零解$\Leftarrow \Rightarrow$|A|=0$\Leftarrow \Rightarrow$r(A)$\Leftarrow \Rightarrow$A不可逆
• 有零解$\Leftarrow \Rightarrow |A|\ne 0$$\Leftarrow \Rightarrow$A可逆$\Leftarrow \Rightarrow$r(A)=n

例题：
已知向量组组成的齐次方程组：(1,3 0,5) (1,2,1,4) (1,1,2,3) (2,5,1,9) (1,-3,6,-1)

解：
设$x_1{a}_1+x_2{a}_2+x_3{a}_3+x_4{a}_4+x_5{a}_5=0$

2.2 基础解系

当我们面临着非零解是个无穷多解的情况的时候，我们需要一组解来代表所有的解。

和极大线性无关组类似。

如何求基础解系？
根据我们上面求一般解的方法，首先写出系数矩阵和增广系数矩阵，然后进行初等行变换，化成行简化阶梯型，写出一般解。

基础解系的向量数量：$s=n-r(A)$，我们也叫基础解系里面有 $s=n-r(A)$ 个向量。

当我们把基础解系视作一个矩阵的话：$B_{ns}$

例题1：（求基础解系）：
$\bar{A}=(..)\to \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& -\frac{9}{4}& -\frac{3}{4}& \frac{1}{4}\\ 0& 1& \frac{3}{4}& -\frac{7}{4}& \frac{5}{4}\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\to \{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{9}{4}{x}_3+\frac{3}{4}{x}_4-\frac{1}{4}{x}_5\\ x_2=-\frac{3}{4}{x}_3+\frac{7}{4}{x}_4-\frac{5}{4}{x}_5\end{array}$

$x_3，x_4，x_5$属于自由未知量

我们对$\left[\begin{array}{c}{x}_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right]$取一个极大线性无关组，最典型的是$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$，代入可解得$x_1$和$x_2$

最后的基础解系：${\eta }_1=\left[\begin{array}{c}\frac{9}{4}\\ -\frac{3}{4}\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]，{\eta }_2=\left[\begin{array}{c}\frac{3}{4}\\ -\frac{7}{4}\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]，{\eta }_3=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{4}\\ -\frac{5}{4}\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

由于部分线性无关，之所以整体也线性无关，基础解系是线性无关的向量组。

特别注意：一定要化成行简化阶梯型而不是阶梯型，才能代入！！！
特别注意：一定要化成行简化阶梯型而不是阶梯型，才能代入！！！
特别注意：一定要化成行简化阶梯型而不是阶梯型，才能代入！！！

例题2：（秩和证明）
已知$A_{mn}$和$B_{ns}$，$AB=0$，证明：$r(A)+r(B)\le n$

证明：
对B进行列分块处理：$B=(B_1{B}_2{B}_3...B_s)$
$AB=A(B_1{B}_2{B}_3...B_s)=(A{B}_{1}A{B}_{2}A{B}_3...A{B}_s)=(0,0,0...0)$

$A{B}_i=0，(i=1,2,3,4...s)$

所以，$B_i$是$Ax=0$的解

【1】$r(A)=n$ 唯一解 唯一零解，$B_i=0$ 所以 $r(A)\le 0$成立

【2】$r(A)<n$ 有非零解，基础解系里面有$n-r(A)$ 个向量

我们知道 $r(B)<min(n,s)$

$r(B)\le s\le n-r(A)$
$r(A)+r(B)\le n$

【重要！】我们需要记住这个结论，证明题常用：
$A_{mn}{B}_{ns}=0$ 满足 $r(A)+r(B)\le n$

3. 非齐次线性方程组

3.1 导出组

我们对于齐次方程使用$AX=0$来表示，而对于非齐次线性方程组用$AX=B$，我们称AX=0是AX=B的导出组。

导出组的两个重要结论！！！

【1】假设 $a_1,a_2$ 是AX=B的解，那么$a_1-a_2$是$AX=0$的解。

$A(a_1-a_2)=B-B=0$

【2】假设$a_0$是$AX=B$的解，$\eta$是$AX=0$的解，则$a_0+\eta$也是$AX=B$的解。

$A(a_0+\eta )=B+0=B$

3.2 特解和通解

通解的意思就是通用的解，特解的意思是所有的解中的一种。

假如对于齐次方程而言，$\eta$是$AX=0$的通解，那么$\eta =c_1{\eta }_1+c_2\eta 2+c_3\eta 3+...+c_{n-r}{\eta }_{n-r}$，我们叫${\eta }_1,{\eta }_2...{\eta }_{n-r}$非齐次方程的基础解系。

至于为什么是n-r，基础解系的数量=n-r

那对于非齐次方程而言，通解是什么？

根据上面导出组的【1】【2】结论，有非齐次方程组的通解：$a_0+\eta$

（$a_0$是非齐次方程的特解，$\eta$是非齐次方程导出组的通解。）

所以，求非齐次方程组的通解需要两样东西：
（1）该非齐次方程的特解
（2）该齐次方程组的导出组的基础解系

例题1：（常规非齐次方程组的通解求法）

已知增广系数矩阵$\bar{A}=\left[\begin{array}{ccccc}1& 5& -1& -1& -1\\ 1& -2& 1& 3& 3\\ 3& 8& -1& 1& 1\\ 1& -9& 3& 7& 7\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 3/7& 13/7& 13/7\\ 0& 1& -2/7& -4/7& -4/7\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

$r(\bar{A})=r(A)=2<n=4$ 有无穷解

写出导出组的基础解系先：
先不看常数列：

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 3/7& 13/7\\ 0& 1& -2/7& -4/7\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

导出组的一般解：
$\{\begin{array}{l}{x}_1=-3x_3/7-13x_4/7\\ x_2=2x_3/7+4x_4/7\end{array}$

$x_3,x_4$是自由未知量，使用$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$代入。

${\eta }_1=\left[\begin{array}{c}-3/7\\ 2/7\\ 1\\ 0\end{array}\right]{\eta }_2=\left[\begin{array}{c}-13/7\\ 4/7\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

$\eta =c_1{\eta }_1+c_2{\eta }_2$

n=4,r=2,所以基础解系向量数量是2

然后我们把$\left[\begin{array}{c}{x}_3=0\\ x_4=0\end{array}\right]$代入

原方程的一般解：
$\{\begin{array}{l}{x}_1=-13/7-3x_3/7-13x_4/7\\ x_2=-4/7+2x_3/7+4x_4/7\end{array}$

得出特解：$a_0=\left[\begin{array}{c}13/7\\ -4/7\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

通解：$a_0+\eta$

例题2：（非常规非齐次方程组的通解求法）
已知四元非齐次线性方程组的$r(A)=3$，$a_1,a_2,a_3$是三个他的解，已知$a_1=(12,3,4,5{)}^T,a_2+a_3=(1,2,3,4{)}^T$，求改方程组的通解？

解：
求通解，一定是求$a_0+\eta$
现在很明显$a_0$我们是知道的，也就是说我们手上有一个特解了，我们只需要找出这个非齐次方程组的导出组的通解。

我们可以算出基础解系的向量数$n-r(A)=1$

还记得在导出组的两个重要结论吗？

假设 $a_1，a_2$ 是 $AX=B$ 的解，那么 $a_1-a_2$ 是 $AX=0$ 的解

也就是$a_1-a_2$和$a_1-a_2$都是导出组的解。

根据结论的延申，我们也可以推出：假设$b_1$和$b_2$是AX=0的解，那么$b_1+b_2$也是

所以说，$2a_1-(a_2+a_3)=\left[\begin{array}{c}24-1=23\\ 6-2=4\\ 8-3=5\\ 10-4=6\end{array}\right]$是AX=B导出组的解，也就是$\eta$

例题2拓展：（非常规非齐次方程组的通解求法）

已知四元非齐次线性方程组的$r(A)=3$，$a_1,a_2,a_3$是三个他的解，已知$a_1=(12,3,4,5{)}^T,a_2+2a_3=(1,2,3,4{)}^T$，求改方程组的通解？

解：
在最后变换的时候注意一下，变成$2a_1-(a_2+2a_3)$是导出组的解。