NOI.AC 【CSP2019模拟Day 4】加密

题目描述

给定$y[],S$，使得
$$\{\begin{array}{l}\sum x_i=S\\ \forall x_i,x_i\oplus k=y_i\end{array}$$
求最小的$k$

题解

可以进行一个简单的变形
$$x_i\oplus k=y_i\Rightarrow x_i=y_i\oplus k$$
这可以给我们带来什么启发呢？
呃，就是我们可以直接由$y$算$x$对和的贡献。
首先我们这样想
令$f(k)=\sum y_i\oplus k$
将问题转化为求有$f(k)=S$的最小的$k$
发现这个函数的运算是异或，可以想到按二进制的每一位算：
统计$y[]$中二进制第$i$位为$0/1$的个数$cnt[LOG][0/1]$
则当$k$的第$i$位为$1$,则对$s$的贡献为$(1<<i)\ast cnt[i][0]$；
则当$k$的第$i$位为$0$,则对$s$的贡献为$(1<<i)\ast cnt[i][1]$。
所以有一个我们可以一位一位的算贡献

先想确定$k$的顺序，对于第$i$位的贡献$(1<<i)\ast cnt$，显然是不会再影响到前$i$位的，所以是从低位到高位计算。

然而第$i$位的贡献是可能影响到之后的，我们把这个理解为进位。

所以差不多可以想到这是一个$dp$了。
状态$dp[i][del]$：确定完前$i$位，向后进位为$del$的最小$k$

这里的del是进位，具体地说就是实际影响是del*(1<<(i+1))

因为第$i$位之后的都是不会再影响到第$i$位的，所以到第$i$位时一定要满足与$S$的第$i$位相等
实现用刷表法

if(((j+cnt[i+1][0])&1)==((S>>(i+1))&1))
	f[i+1][(j+cnt[i+1][0])>>1]=min(f[i+1][(j+cnt[i+1][0])>>1],f[i][j]+(1LL<<(i+1)));
if(((j+cnt[i+1][1])&1)==((S>>(i+1))&1))
	f[i+1][(j+cnt[i+1][1])>>1]=min(f[i+1][(j+cnt[i+1][1])>>1],f[i][j]);

代码

#include
#include
using namespace std;
const int MAXN=int(3e5+5);
#define LOG 60
#define Log 20
typedef long long LL;
#define INF (1LL<<60)
int n;
LL y[MAXN],f[LOG+5][(1<<Log)+5],S;
int cnt[LOG+5][2];
int main()
{
    scanf("%d%lld",&n,&S);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&y[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=LOG;j++) {
            if(1&(y[i]>>j))
                cnt[j][1]++;
            else
                cnt[j][0]++;
        }
    for(int i=0;i<=LOG;i++)
        for(int j=0;j<=(1<<Log);j++)
            f[i][j]=INF;
    if((cnt[0][0]&1)==(S&1))
        f[0][cnt[0][0]>>1]=1;
    if((cnt[0][1]&1)==(S&1))
        f[0][cnt[0][1]>>1]=0;
    for(int i=0;i<=LOG-1;i++)
        for(int j=0;j<=(1<<Log);j++) {
            if(f[i][j]==INF)
                continue;
            if(((j+cnt[i+1][0])&1)==((S>>(i+1))&1))
                f[i+1][(j+cnt[i+1][0])>>1]=min(f[i+1][(j+cnt[i+1][0])>>1],f[i][j]+(1LL<<(i+1)));
            if(((j+cnt[i+1][1])&1)==((S>>(i+1))&1))
                f[i+1][(j+cnt[i+1][1])>>1]=min(f[i+1][(j+cnt[i+1][1])>>1],f[i][j]);
        }
    if(f[LOG][0]==INF) {
        puts("-1");
        return 0;
    }
    printf("%lld",f[LOG][0]);
}

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$Thanks$ $For$ $Reading!$