《高等统计物理学》Cookbook（持续更新）
在《高等统计物理学》系列文章中，有时候会用到一些重要的量子力学基础知识，比如定态薛定谔方程的求解、产生和消灭算符等等。本部分为读者建立一个即用即查的“工具箱”，为方便正文的高效学习。
内容
一. 薛定谔方程求解
二. 消灭算符和产生算符
三. 玻色子、费米子和保、泡利不相容原理
四. 高Tc超导体的主要性质
一. 薛定谔方程求解
1. 求解步骤
（1）分离变量；
Ψ ( r , t ) = ψ ( r ) f ( t ) ; \Psi(r,t)=\psi(r)f(t) ; Ψ(r,t)=ψ(r)f(t);（2）构造等式；
借助薛定谔方程 i ℏ ∂ Ψ ( r , t ) ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ ( r , t ) + U ^ ( r ) Ψ ( r , t ) ， i\hbar\frac{\partial \Psi(r,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2\Psi(r,t)+\hat U(r)\Psi(r,t) ， iℏ∂t∂Ψ(r,t)=−2mℏ2∇2Ψ(r,t)+U^(r)Ψ(r,t)，代入得到 i ℏ ∂ ψ ( r ) f ( t ) ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ ( r ) f ( t ) + U ^ ( r ) ψ ( r ) f ( t ) = H ^ ψ ( r ) f ( t ) ， i\hbar\frac{\partial \psi(r)f(t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2\psi(r)f(t)+\hat U(r)\psi(r)f(t)=\hat H\psi(r)f(t) ， iℏ∂t∂ψ(r)f(t)=−2mℏ2∇2ψ(r)f(t)+U^(r)ψ(r)f(t)=H^ψ(r)f(t)，进而得 i ℏ ψ ( r ) ∂ f ( t ) ∂ t = f ( t ) H ^ ψ ( r ) ， i\hbar\psi(r)\frac{\partial f(t)}{\partial t}=f(t)\hat H\psi(r) ， iℏψ(r)∂t∂f(t)=f(t)H^ψ(r)，整理得 1 i ℏ d f ( t ) f ( t ) 1 d t = 1 ψ ( r ) H ^ ψ ( r ) = E 。 \frac{1}{i \hbar}\frac{df(t)}{f(t)}\frac{1}{dt}=\frac{1}{\psi(r)}\hat H \psi(r)=E 。 iℏ1f(t)df(t)dt1=ψ(r)1H^ψ(r)=E。（3）微分方程解出 f(t) ；
很容易得到， f ( t ) = C e − i ℏ E t f(t)=Ce^{-\frac{i}{\hbar}Et} f(t)=Ce−ℏiEt （只是要特别注意一下这里放置C的位置）。
（4）定态薛定谔方程方程解出 ψ ( r ) \psi(r) ψ(r)；
（5）得到 Ψ ( r , t ) 。 \Psi(r,t) 。 Ψ(r,t)。
（待解决问题1:按照该套路算出一维无限深势阱、一维谐振子和氢原子的波函数）
二. 消灭算符和产生算符
1. 定义式
消灭算符： a = ( μ ω 2 ℏ ) 1 2 ( x ^ + i μ ω p ^ ) = ( μ ω 2 ℏ ) 1 2 ( x ^ + ℏ μ ω d d x ) a=(\frac{\mu \omega}{2 \hbar})^{\frac{1}{2}}( \hat x+\frac{i}{\mu \omega}\hat p)=(\frac{\mu \omega}{2 \hbar})^{\frac{1}{2}}(\hat x+\frac{\hbar}{\mu\omega}\frac{d}{dx}) a=(2ℏμω)21(x^+μωip^)=(2ℏμω)21(x^+μωℏdxd)产生算符： a † = ( μ ω 2 ℏ ) 1 2 ( x ^ − i μ ω p ^ ) = ( μ ω 2 ℏ ) 1 2 ( x ^ − ℏ μ ω d d x ) a^\dagger=(\frac{\mu \omega}{2 \hbar})^{\frac{1}{2}}(\hat x-\frac{i}{\mu \omega}\hat p)=(\frac{\mu \omega}{2 \hbar})^{\frac{1}{2}}(\hat x-\frac{\hbar}{\mu\omega}\frac{d}{dx}) a†=(2ℏμω)21(x^−μωip^)=(2ℏμω)21(x^−μωℏdxd)其中用到了动量算符： p ^ = ℏ i ∂ ∂ r ， \hat p=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial r} ， p^=iℏ∂r∂，与德布罗意关系 p = ℏ k ( k = 2 π λ , ℏ = h 2 π ) p=\hbar k (k=\frac{2\pi}{\lambda},\hbar=\frac{h}{2\pi}) p=ℏk(k=λ2π,ℏ=2πh) 区分，并注意德布罗意关系中还有 E = ℏ ω E=\hbar \omega E=ℏω 。
注意：消灭和产生算符是指满足下面这种对易关系的算符，它不局限于某种形式，比如在这里的量子力学中的一维谐振子，它可以通过动量算符和坐标算符的线性组合构造出，但只是其中的一种方式。生灭算符的作用就是用来看占有数表象的。（待解决问题2:它是怎么看的？在教材上看一看）
2. 性质
（1）一维谐振子的哈密顿量 H = 1 2 μ p 2 + 1 2 μ ω 2 x 2 H=\frac{1}{2\mu}p^2+\frac{1}{2}\mu\omega^2x^2 H=2μ1p2+21μω2x2可以分解为 H = ℏ ω ( a † a − 1 2 ) = ℏ ω ( N − 1 2 ) ； H=\hbar\omega(a^\dagger a-\frac{1}{2})=\hbar\omega(N-\frac{1}{2}) ； H=ℏω(a†a−21)=ℏω(N−21)；
证明：联立消灭算符和产生算符的定义式可以得到 x ^ = ( ℏ 2 μ ω ) 1 2 ( a + a † ) \hat x=(\frac{\hbar}{2\mu \omega})^{\frac{1}{2}}(a+a^\dagger) x^=(2μωℏ)21(a+a†) 和 p ^ = − i ( μ ω ℏ 2 ) 1 2 ( a − a † ) ， \hat p=-i(\frac{\mu \omega \hbar}{2})^{\frac{1}{2}}(a-a^\dagger) ， p^=−i(2μωℏ)21(a−a†)，注意这里如果平方的话， a 2 − b 2 ≠ ( a + b ) ( a − b ) ， a^2-b^2\neq(a+b)(a-b) ， a2−b2=(a+b)(a−b)，推荐不代入平方进去做，如下：
（2） [ a , a † ] = 1 ； [a,a^\dagger]=1 ； [a,a†]=1；
证明： [ a , a † ] = a a † − α † a = ( μ ω 2 ℏ ) 1 2 ( x ^ + i μ ω p ^ ) ( μ ω 2 ℏ ) 1 2 ( x ^ − i μ ω p ^ ) − ( μ ω 2 ℏ ) 1 2 ( x ^ − i μ ω p ^ ) ( μ ω 2 ℏ ) 1 2 ( x ^ + i μ ω p ^ ) = i ℏ [ p ^ , x ^ ] = 1 \begin{aligned} [a,a^\dagger]&=aa^\dagger-\alpha^\dagger a=(\frac{\mu \omega}{2 \hbar})^{\frac{1}{2}}( \hat x+\frac{i}{\mu \omega}\hat p)(\frac{\mu \omega}{2 \hbar})^{\frac{1}{2}}(\hat x-\frac{i}{\mu \omega}\hat p)-(\frac{\mu \omega}{2 \hbar})^{\frac{1}{2}}( \hat x-\frac{i}{\mu \omega}\hat p)(\frac{\mu \omega}{2 \hbar})^{\frac{1}{2}}( \hat x+\frac{i}{\mu \omega}\hat p)\\ &=\frac{i}{\hbar}[\hat p,\hat x]=1 \end{aligned} [a,a†]=aa†−α†a=(2ℏμω)21(x^+μωip^)(2ℏμω)21(x^−μωip^)−(2ℏμω)21(x^−μωip^)(2ℏμω)21(x^+μωip^)=ℏi[p^,x^]=1 （3） [ N , a † ] = a † ， [ N , a ] = − a ; [N,a^\dagger]=a^\dagger ， [N,a]=-a ; [N,a†]=a†，[N,a]=−a;
证明： [ N , a † ] = [ a † a , a † ] = a † a a † − a † a † a = a † ( a a † − a † a ) = a † [ a , a † ] = a † ， [N,a^\dagger]=[a^\dagger a,a^\dagger]=a^\dagger aa^\dagger-a^\dagger a^\dagger a=a^\dagger(aa^\dagger-a^\dagger a)=a^\dagger[a,a^\dagger]=a^\dagger ， [N,a†]=[a†a,a†]=a†aa†−a†a†a=a†(aa†−a†a)=a†[a,a†]=a†，同理可以证明到 [ N , a ] = [ a † a , a ] = ( a † a a − a a † a ) = ( a † a − a a † ) a = − ( a a † − a † a ) a = − [ a , a † ] a = − a 。 [N,a]=[a^\dagger a,a]=(a^\dagger aa-aa^\dagger a)=(a^\dagger a-a a^\dagger)a=-(a a^\dagger-a^\dagger a)a=-[a,a^\dagger ]a=-a 。 [N,a]=[a†a,a]=(a†aa−aa†a)=(a†a−aa†)a=−(aa†−a†a)a=−[a,a†]a=−a。
3. 作用
N a ∣ n > = ( n − 1 ) a ∣ n > ， N a † ∣ n > = ( n + 1 ) a † ∣ n > Na|n>=(n-1)a|n> ， Na^\dagger|n>=(n+1)a^\dagger|n> Na∣n>=(n−1)a∣n>，Na†∣n>=(n+1)a†∣n> a ∣ n > = n ∣ n − 1 > ， a † ∣ n > = n + 1 ∣ n + 1 > a|n>=\sqrt n|n-1> ， a^\dagger|n>=\sqrt{n+1}|n+1> a∣n>=n∣n−1>，a†∣n>=n+1∣n+1>证明：对前两个的证明过程如下：
对于第二个式子，它也说明了 a † ∣ n > a^\dagger|n> a†∣n> 也是 N 的本征态，本征值为 n + 1 。 n+1 。 n+1。由此可见，用 a † a^\dagger a† 作用于 ∣ 0 > |0> ∣0> 可以得出 N N N 的全部本征态。所以得到了下面两个我们要证明的的结论，对后两个的证明过程如下：
此外还有： H ∣ n > = ( n + 1 2 ) ∣ n > ， ∣ n > = ( a † ) n n ! ∣ 0 > 。 H|n>=(n+\frac{1}{2})|n> ，|n>=\frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0> 。 H∣n>=(n+21)∣n>，∣n>=n!(a†)n∣0>。
三. 玻色子、费米子和保、泡利不相容原理
1. 玻色子和费米子
凡自旋为 ℏ \hbar ℏ 的整数倍的粒子，波函数对于两粒子的交换总是对称的，成为玻色子；凡自旋为 ℏ \hbar ℏ 的半奇数倍的粒子，波函数对于两粒子的交换总是反对称的，成为费米子；
其中还要明白几个概念：
全同粒子：同一类的粒子具有完全相同的内禀属性，在量子力学中，把属于同一类的粒子称为全同粒子；
交换对称性：全同粒子组成的多体系中，任何可观测量，特别是哈密顿量，对于任何两个粒子交换是不变的，即称为交换对称性；
对称波函数和反对称波函数：全同粒子组成的多体系中，对于任何两个粒子的交换，其量子态是不变的，即要求该体系的波函数对于粒子的交换具有一定的对称性。如果满足 P i j ψ = + ψ ， P_{ij}\psi=+\psi， Pijψ=+ψ，称为对称波函数例如过满足 P i j ψ = − ψ ， P_{ij}\psi=-\psi ， Pijψ=−ψ，称为反对称波函数。（其中 P i j P_{ij} Pij 是交换两个粒子的算符）。
2. 泡利不相容原理
不允许有两个全同的Fermi子处于同一单粒子态（ 这里 k k k 代表足以描述Fermi 子量子态的一组完备的量子数， 特别要注意： 对于有自旋的粒子， 必须包含描述自旋态的量子数）。
对于Fermi子， 要求波函数对于交换是反对称的.归一化的波函数可如下构成： ψ k 1 k 2 A ( q 1 , q 2 ) = 1 2 [ ψ k 1 ( q 1 ) ψ k 2 ( q 2 ) − ψ k 2 ( q 2 ) ψ k 1 ( q 1 ) ] ， \psi_{k_1k_2}^A(q_1,q_2)=\frac{1}{\sqrt2}[\psi_{k_1}(q_1)\psi_{k_2}(q_2)-\psi_{k_2}(q_2)\psi_{k_1}(q_1)] ， ψk1k2A(q1,q2)=21[ψk1(q1)ψk2(q2)−ψk2(q2)ψk1(q1)]，可以看出，当 k 1 = k 2 时 ， ψ A = 0 ， k_1=k_2 时， \psi^A=0 ， k1=k2时，ψA=0，则说明这样的状态时不存在的。
四. 高Tc超导体的主要性质
同位素效应弱甚至无；
万斯纳效应不完全；
磁场穿透深度较大；
相干长度较短或者库珀对的空间域性较强；
隧道实验表明电子对存在
晶体结构有强低维特点，3个晶体常数相差3～4倍；
运输系数具有很大的各向异性；
载流子浓度较低，且为空穴型导电。
总结
结束了这一部分的学习后，至少要做到：
（1）熟悉薛定谔方程的求解套路，并会解出一维无限深势阱、一维谐振子和氢原子的波函数；
（2）能够写出消灭算符和产生算符的定义式；
（3）能够写出并证明消灭算符和产生算符的3个性质；（第1个有问题，其他没问题）
（4）能够分别写出并证明消灭算符和产生算符的2个作用（能说出另外的两个公式）；（一共4个公式，前2个有规律，用到3个关系的联立；后两个记住）
（5）能够说出玻色子和费米子的定义，以及知道“全同粒子”、“交换对称性“、”对称波函数和反对称波函数“的概念；
（6）能够写出泡利不相容原理及明白其由来；
（7）能够说出高Tc超导体的8个主要性质；