线代第十一周周四作业：对角化矩阵

老师给的答案：

相似于对角矩阵：有两个重复的特征值则这个特征值有重复个数的特征向量
不相似对角矩阵：没有n个线性相关特征向量，就是缺特征向量

注：一个特征值一定可以求出它对应的特征向量

“-1的特征向量”用的是：
n是A的
$$\begin{gathered} Ax=0 \\ R(x)=n-R(A) \end{gathered}$$

!!!网上的答案：
A不能对角化则A必有如下的若尔当标准型
$$B=\left\{\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3\end{array}\right\}$$
B是由A初等变换而来的
$$B+E=\left\{\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 4& 1\\ 0& 0& 4\end{array}\right\}$$
所以$$R（A+E）=R（B+E）=2$$
注：
（1）若尔当标准型：
若尔当标准型是由若干个主对角线为特征值，下方（或上方）次对角线全为1，其余全为0的若尔当块按对角排列组成的准对角矩阵。不是每个n阶矩阵通过初等变换都能化为对角矩阵，但每个n阶复数矩阵A通过初等变换都能化为若尔当标准型，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序不同外是被矩阵A唯一确定的，它称为矩阵A的若尔当标准型。
（2）R（A+E）=R（B+E)的证明：


用若尔当标准型计算：
$$B=\left\{\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 9\end{array}\right\}$$
$$E-B=\left\{\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 0& 0& 0& -8\end{array}\right\}$$
整理之后可得R(E-A) = 3
所以R（x）= 1
即解空间向量的维数为 1

另外两道计算题：