凸规划

1.凸集

设S为n维欧式空间 Rn 中的一个集合, 若对S中任意两点, 连接它们的线段中任一点仍属于S, 那么就说S为一个凸集.
对于S中的任意两点 x1,x2 , 对于任意的 λ∈[0,1] , 都有

λx1+(1−λ)x2∈S

,称S为一个 凸集.

凸集一般用集合 H={x|pTx=α} 表示. p 为n维列向量, α 为实数.

2.凸函数

国内有些书籍的定义与国外相反. 按照下面的定义, 凸函数的形状是下凸的, 符合人们对凹的直观理解.

x1,x2 为凸集中的任意两点, λ∈[0,1] , 若满足

f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)

则称函数为凸函数.
线性函数既是凸函数也是凹函数.

3.凸规划

求凸函数在凸集上的极小点, 这类问题称为凸规划.
凸规划是非线性规划中一种重要的特殊情形. 凸规划的局部最小点就是全局最小点.
举个例子, 我们考虑下面的极小化问题:

mins.t.f(x)gi(x)≥0,hj(x)=0,i=1,...,mj=1,...,l

设f(x)是凸函数, gi(x) 是凸函数, hj(x) 是线性函数.
那么这个问题的可行域S就是 m+l 个凸集的交, 还是凸集.