斯坦福cs231n学习笔记（9）------神经网络训练细节（Batch Normalization）

神经网络训练细节系列笔记：

• 神经网络训练细节（激活函数）
• 神经网络训练细节（数据预处理、权重初始化）
• 神经网络训练细节（训练过程，超参数优化）

这一篇介绍很NB的BN（Batch Normalization）：

Batch Normalization是由Loffe和Szegedy在2015年提出的概念，主旨是在深度神经网络训练过程中使得每一层神经网络的输入保持相同分布。Batch Normalization概念的提出来源于深度神经网络随着网络深度加深，训练起来越困难，收敛越来越慢。从而引入了“Internal Covariate Shift”问题。

“Internal Covariate Shift”问题是指：在训练过程中，因为各层参数老在变，所以每个隐层都会面临covariate shift的问题，也就是在训练过程中，隐层的输入分布老是变来变去，这就是所谓的“Internal Covariate Shift”，Internal指的是深层网络的隐层，是发生在网络内部的事情，而不是covariate shift问题只发生在输入层。

因此，就有了Batch Normalization的基本思想：能不能让每个隐层节点的激活输入分布固定下来呢？这样就避免了“Internal Covariate Shift”问题了。

那么，详细解释Batch Normalization的基本思想：对于每个隐层神经元，把逐渐向非线性函数映射后向取值区间极限饱和区靠拢的输入分布强制拉回到均值为0方差为1的比较标准的正态分布，使得非线性变换函数的输入值落入对输入比较敏感的区域，以此避免梯度消失问题。因为梯度一直都能保持比较大的状态，所以很明显对神经网络的参数调整效率比较高，就是变动大，就是说向损失函数最优值迈动的步子大，也就是说收敛地快。BN说到底就是这么个机制，方法很简单，道理很深刻。形象的理解这种调整到底有什么含义：

假设某个隐层神经元原先的激活输入x取值符合正态分布，正态分布均值是-2，方差是0.5，对应上图中最左端的浅蓝色曲线，通过BN后转换为均值为0，方差是1的正态分布（对应上图中的深蓝色图形），意味着什么，意味着输入x的取值正态分布整体右移2（均值的变化），图形曲线更平缓了（方差增大的变化）。这个图的意思是，BN其实就是把每个隐层神经元的激活输入分布从偏离均值为0方差为1的正态分布通过平移均值压缩或者扩大曲线尖锐程度，调整为均值为0方差为1的正态分布。

那么把激活输入x调整到这个正态分布有什么用？
首先我们看下均值为0，方差为1的标准正态分布代表什么含义：

这意味着在一个标准差范围内，也就是说64%的概率x其值落在[-1,1]的范围内，在两个标准差范围内，也就是说95%的概率x其值落在了[-2,2]的范围内。那么这又意味着什么？我们知道，激活值y=WX+B,X是真正的输入，y是某个神经元的激活值，假设非线性函数是sigmoid，那么看下sigmoid(x)其图形：

及sigmoid(x)的导数为：G’=f(x)*(1-f(x))，因为f(x)=sigmoid(x)在0到1之间，所以G’在0到0.25之间，其对应的图如下：

假设没有经过BN调整前x的原先正态分布均值是-6，方差是1，那么意味着95%的值落在了[-8,-4]之间，那么对应的Sigmoid（x）函数的值明显接近于0，这是典型的梯度饱和区，在这个区域里梯度变化很慢，为什么是梯度饱和区？请看下sigmoid(x)如果取值接近0或者接近于1的时候对应导数函数取值，接近于0，意味着梯度变化很小甚至消失。而假设经过BN后，均值是0，方差是1，那么意味着95%的x值落在了[-2,2]区间内，很明显这一段是sigmoid(x)函数接近于线性变换的区域，意味着x的小变化会导致非线性函数值较大的变化，也即是梯度变化较大，对应导数函数图中明显大于0的区域，就是梯度非饱和区。

从上面几个图应该看出来BN在干什么了吧？其实就是把隐层神经元激活输入y=WX+B从变化不拘一格的正态分布通过BN操作拉回到了均值为0，方差为1的正态分布，即原始正态分布中心左移或者右移到以0为均值，拉伸或者缩减形态形成以1为方差的图形。什么意思？就是说经过BN后，目前大部分Activation的值落入非线性函数的线性区内，其对应的导数远离导数饱和区，这样来加速训练收敛过程。

但是很明显，看到这里，稍微了解神经网络的读者一般会提出一个疑问：如果都通过BN，那么不就跟把非线性函数替换成线性函数效果相同了？这意味着什么？我们知道，如果是多层的线性函数变换其实这个深层是没有意义的，因为多层线性网络跟一层线性网络是等价的。这意味着网络的表达能力下降了，这也意味着深度的意义就没有了。所以BN为了保证非线性的获得，对变换后的满足均值为0方差为1的x又进行了scale加上shift操作(y=scale*x+shift)，每个神经元增加了两个参数scale和shift参数，这两个参数是通过训练学习到的，意思是通过scale和shift把这个值从标准正态分布左移或者由移一点并长胖一点或者变瘦一点，每个实例挪动的程度不一样，这样等价于非线性函数的值从正中心周围的线性区往非线性区动了动。核心思想应该是想找到一个线性和非线性的较好平衡点，既能享受非线性的较强表达能力的好处，又避免太靠非线性区两头使得网络收敛速度太慢。

因此，神经网络的结构调整如下：

其具体BN操作就是对于隐层内每个神经元的激活值来说，进行如下变换：

要注意，这里t层某个神经元的x(k)不是指原始输入，就是说不是t-1层每个神经元的输出，而是t层这个神经元的激活y=WX+B，这里的X才是t-1层神经元的输出。

变换的意思是：某个神经元对应的原始的激活y通过减去mini-Batch内m个实例获得的m个激活y求得的均值E(x)并除以求得的方差Var(x)来进行转换。

上文说过经过这个变换后某个神经元的激活x形成了均值为0，方差为1的正态分布，目的是把值往后续要进行的非线性变换的线性区拉动，增大导数值，增强反向传播信息流动性，加快训练收敛速度。但是这样会导致网络表达能力下降，为了防止这一点，每个神经元增加两个调节参数（scale和shift），这两个参数是通过训练来学习到的，用来对变换后的激活反变换，使得网络表达能力增强，即对变换后的激活进行如下的scale和shift操作，这其实是变换的反操作：

BN具体操作流程：

So，BatchNorm为什么NB呢，关键还是效果好。不仅仅极大提升了训练速度，收敛过程大大加快，还能增加分类效果，一种解释是这是类似于Dropout的一种防止过拟合的正则化表达方式，所以不用Dropout也能达到相当的效果。另外调参过程也简单多了，对于初始化要求没那么高，而且可以使用大的学习率等。总而言之，经过这么简单的变换，带来的好处多得很，这也是为何现在BN这么快流行起来的原因。