矩阵高斯消元解方程组

有如下方程组，求 x 、y、z

⎧⎩⎨⎪⎪x+3y+z=9;x+y−z=1;3x+11y−6z=35; { x + 3 y + z = 9 ; x + y − z = 1 ; 3 x + 11 y − 6 z = 35 ;

矩阵乘法表示：

⎡⎣⎢⎢11331111−16⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢xyz⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢9135⎤⎦⎥⎥ [ 1 3 1 1 1 − 1 3 11 6 ] [ x y z ] = [ 9 1 35 ]

用矩阵的高斯消元法：主元不能为0，才有解，第一行第一列不为0，第一行暂不变

1. 增广矩阵(前三列表示x、y、z 列的系数)

⎡⎣⎢⎢⎢11331111−169135⎤⎦⎥⎥⎥ [ 1 3 1 9 1 1 − 1 1 3 11 6 35 ]

1. 首行不变，消元第二行的x元: row2 - row1

   ⎡⎣⎢⎢⎢1033−2111−269−835⎤⎦⎥⎥⎥ [ 1 3 1 9 0 − 2 − 2 − 8 3 11 6 35 ]

2. 前两行不变，消元第三行的x和y元:

   先 row3 - row1*3

⎡⎣⎢⎢⎢1003−221−239−88⎤⎦⎥⎥⎥ [ 1 3 1 9 0 − 2 − 2 − 8 0 2 3 8 ]

再row3 + row2

⎡⎣⎢⎢⎢1003−201−219−80⎤⎦⎥⎥⎥ [ 1 3 1 9 0 − 2 − 2 − 8 0 0 1 0 ]

1. 结果：

   由第三行知，z=0； 代入第二行知，y=4；代入第一行知，x=-3
   回代原方程：
   

   ⎧⎩⎨⎪⎪−3+3∗4+0=9;−3+4−0=1;−3∗3+11∗4−6∗0=35; { − 3 + 3 ∗ 4 + 0 = 9 ; − 3 + 4 − 0 = 1 ; − 3 ∗ 3 + 11 ∗ 4 − 6 ∗ 0 = 35 ;