群及置换群的概念

BOLG

群的定义

设G为一个元素的集合，称G内的元素为元，*为针对G这个集合的元素的运算，当 （G，∗） （ G ， ∗ ） 满足以下要求的时候，我们称 （G，∗） （ G ， ∗ ） 为群

1. 封闭性：G内的任何两个元的*运算的结果仍在G内
2. 交换律： a∗（b∗c）=（a∗b）∗c a ∗ （ b ∗ c ） = （ a ∗ b ） ∗ c
3. 单位元：任何 a∗e=a a ∗ e = a
4. 逆元： a∗a−1=e a ∗ a − 1 = e

比如： G={0,1,2...n−1},a∗b=(a+b)%n G = { 0 , 1 , 2... n − 1 } , a ∗ b = ( a + b ) % n

那么封闭性和交换律显然符合要求，而单位元为0，a(a!=0)的逆元为n-a，0的逆元为0，那么我们就称 （G，∗） （ G ， ∗ ） 为群

有限群的阶 |G|：G的元素的数量

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置换定义

有点像游戏里面各种属性的克制

置换 π π 表示G中每个元素在一次变换后的下一个状态

置换的运算符号记作 “⋅” “ · ”

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表示方法一：矩阵

π={x1y1x2y2......xnyn} π = { x 1 x 2 . . . x n y 1 y 2 . . . y n }

表示 x1 x 1 的下一个状态为 y1 y 1 ， x2 x 2 的下一个状态为 y2 y 2 ……

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表示方法二：循环节

假设有置换 π={122331} π = { 1 2 3 2 3 1 } ，那么就可以用（1,2,3）来表示

而(1,2,3)(3)表示1->2，2->3，3->3

c(π) c ( π ) 表示置换 π π 的循环节的个数

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置换群的定义

置换群不是某种带有置换属性的群，而是群的元素为置换

设G为有限集X上的置换的集合，若G满足群的定义，则 (G，⋅) ( G ， · ) 被称为一个置换群。

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置换群下的一些定义

一：等价

如果元素a在某个置换 π π 的作用下变成了b，则a与b等价，记作a~b

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二：等价类&轨迹

G的一个元素在置换的作用下会变成下一个元素，下一个元素也有下一个元素，一直变换下去就会形成一条路径，我们形象的称之为G的轨迹，轨迹上的元素称为一个等价类。显然两条轨迹不会相交。

a的等价类表示所有a可以变换到（可能不止一步）的元素的集合，记作 Ea E a

等价类的数量记作 “L” “ L ” ，而大多数题目都需要求这个L。

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三：不动置换类（置换的类）

对于某个元素a，所有满足a->a的置换的集合，称为a的不动置换类，记作 Za Z a

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四：不动点集（元素的类）

对于某个置换 π π ，所有满足在这个置换下不变的元素的集合，称为 π π 的不动点集，记作 C(π) C ( π )

若 π=(123)(3)(45)(6)(7) π = ( 123 ) ( 3 ) ( 45 ) ( 6 ) ( 7 ) , X={1,2,3,4,5,6,7} X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } ,则 C(π)=3,6,7 C ( π ) = 3 , 6 , 7 共3个元素。