群及置换群的概念

BOLG

群的定义

设G为一个元素的集合,称G内的元素为,*为针对G这个集合的元素的运算,当 G ( G , ∗ ) 满足以下要求的时候,我们称 G ( G , ∗ ) 为群

  1. 封闭性:G内的任何两个元的*运算的结果仍在G内
  2. 交换律: abc=abc a ∗ ( b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ∗ c
  3. 单位元:任何 ae=a a ∗ e = a
  4. 逆元: aa1=e a ∗ a − 1 = e

比如: G={0,1,2...n1},ab=(a+b)%n G = { 0 , 1 , 2... n − 1 } , a ∗ b = ( a + b ) % n

那么封闭性和交换律显然符合要求,而单位元为0,a(a!=0)的逆元为n-a,0的逆元为0,那么我们就称 G ( G , ∗ ) 为群

有限群的阶 |G|:G的元素的数量


置换定义

有点像游戏里面各种属性的克制

置换 π π 表示G中每个元素在一次变换后的下一个状态

置换的运算符号记作 “ · ”


表示方法一:矩阵

π={x1y1x2y2......xnyn} π = { x 1 x 2 . . . x n y 1 y 2 . . . y n }

表示 x1 x 1 的下一个状态为 y1 y 1 x2 x 2 的下一个状态为 y2 y 2 ……


表示方法二:循环节

假设有置换 π={122331} π = { 1 2 3 2 3 1 } ,那么就可以用(1,2,3)来表示

而(1,2,3)(3)表示1->2,2->3,3->3

c(π) c ( π ) 表示置换 π π 的循环节的个数


置换群的定义

置换群不是某种带有置换属性的群,而是群的元素为置换

设G为有限集X上的置换的集合,若G满足群的定义,则 (G) ( G , · ) 被称为一个置换群。


置换群下的一些定义

一:等价

如果元素a在某个置换 π π 的作用下变成了b,则a与b等价,记作a~b


二:等价类&轨迹

G的一个元素在置换的作用下会变成下一个元素,下一个元素也有下一个元素,一直变换下去就会形成一条路径,我们形象的称之为G的轨迹,轨迹上的元素称为一个等价类。显然两条轨迹不会相交。

a的等价类表示所有a可以变换到(可能不止一步)的元素的集合,记作 Ea E a

等价类的数量记作 L “ L ” ,而大多数题目都需要求这个L。


三:不动置换类(置换的类)

对于某个元素a,所有满足a->a的置换的集合,称为a的不动置换类,记作 Za Z a


四:不动点集(元素的类)

对于某个置换 π π ,所有满足在这个置换下不变的元素的集合,称为 π π 的不动点集,记作 C(π) C ( π )

π=(123)(3)(45)(6)(7) π = ( 123 ) ( 3 ) ( 45 ) ( 6 ) ( 7 ) , X={1,2,3,4,5,6,7} X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } ,则 C(π)=3,6,7 C ( π ) = 3 , 6 , 7 共3个元素。

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