科学计算线性方程组的几个实例

1、 Write a program to computethe absolute and relative errors in Stirling’s approximation   for n = 1,...,10. Doestheabsoluteerrorgrow orshrink as n increases? Does the relative error grow or shrink as n increases?

根据题意用MATLAB进行编程

代码如下

function [ y ] = errorj( x )
y = sqrt(2*pi*x)*(x/exp(1))^x-factorial(x);
end
function [ y ] = errorx( x )
y = (sqrt(2*pi*x)*(x/exp(1))^x-factorial(x))/factorial(x);
end
n = 15;
x = 1:1:n;
y1 = zeros(1,n);
y2 = zeros(1,n);
for i = 1:n
    y1(i) = abs(errorj(x(i)));
    y2(i) = abs(errorx(x(i)));   
end
% scatter(x,y1)
% hold on
scatter(x,y2,'p')
hold on

当n取1到15时，绘制出绝对误差的图像如下所示：

当n取1到100时，绘制出绝对误差的图像如下所示：

当n取1到15时，绘制出相对误差的图像如下所示：

当n取1到100时，绘制出相对误差的图像如下所示：

观察以上四个图我们可以发现，随着n的增加绝对误差不但增大，并且增大地越来越快。而相对误差越来越小，并接近于0 。

2、

根据题意编写代码如下：

function [y] = ejinsi(x )
y = exp(1)-(1+1/10^x)^(10^x);
end
n = 10;
x = 1:1:n;
y = zeros(1,n);
for i = 1:n
   y(i) = ejinsi(x(i));     
end
scatter(x,y)

n取10 ¹到10 ¹⁰时，绘制出绝对误差变化趋势图如下图所示

我们可以看到随着n的增大，误差越来越小并接近于0 。而当我们取n的值为10¹到10²⁰时，绘制出误差的变化趋势如下图所示

我们可以看到，大概当n取值为10¹⁵时，所计算误差出现较大变化，此时应该是计算机发生溢出所致。此时计算机已经不能运用该模型正确计算该误差的值。

(a)Use a library routine for Gaussian elimination to solve the system Ax = b,where

 

(b)Use the LU factorization of A already computed to solve the system Ay = c,where

without refactoring the matrix.

根据题意编写程序代码如下：

LU分解：

function [L, U] = MyLU( A )
[n1,n] = size(A);
L = zeros(n,n);
m = zeros(n,n);
if(n1 == n)
    k = 1;
   while k1
   for i = 2:n
       for j = 1:i-1
           A(i,j)=0;
       end
   end
end
for i=1:n
    m(i,i)=1;
end
L = m;
U = A;
 
end

前代函数：

function [ x ] = Fiteration( L,b )
[n1,n]=size(L);
x = zeros(n,1);
if n1==n
    j = 1;
    while j

后代函数：

function [ x ] = Biteration( U,b )
[n1,n] = size(U);
x = zeros(n,1);
if n1==n
    j = n;
    while j>0 && U(j,j)~=0
        x(j,1) = b(j)/U(j,j);
        for i = 1:j-1
           b(i) = b(i)-U(i,j)*x(j); 
        end
        j = j-1;
    end
    
end
 
end

结果运算：

A = [2 4 -2
    4 9 -3
    -2 -1 7];
b = [2
    8
    10];
fprintf('%s\n','直接调用:')
x = inv(A)*b
fprintf('%s\n','自写函数LU分解:')
[L,U]=MyLU(A)
c = [4
    8
    -6];
fprintf('%s\n','直接调用:')
y1 = inv(A)*c
fprintf('%s\n','自写前代后代运算:')
front = Fiteration( L,c );
y2 = Biteration(U,front)

所以本题的结果为