算法--迭代法
迭代法
迭代法（Iteration）是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法，一般用于数值计算。累加、累乘都是迭代算法的基础应用。典型案例：牛顿迭代法”。
步骤：
- 确定迭代模型：分析得出前一个（或几个）值与其下一个值的迭代关系数学模型；
- 建立迭代关系式
- 对迭代过程进行控制
经典案例：
示例： 斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34
function fibonacci(n) {
let a = 1, b = 1, c = 1
for(let i = 2; i <= n; i++) {
c = a + b
a = b
b = c
}
return c
}
对于斐波那契数列，当n趋于无穷时，数列最后的两项的商 (xn-1/xn) 趋于黄金分割数0.618
示例： 最大公约数，采用辗转相除法（欧几里得算法）
定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数，和两数相除余数的最大公约数。
gcd(a, b) = gcd(a, a mod b)
function gcd (a, b) {
if (a < b) {
[a, b] = [b, a]
}
let temp
while (b > 0) {
temp = a % b
a = b
b = temp
}
return a
}
示例： 牛顿迭代法
一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，其比一般的迭代法有更高的收敛速度。
首先，选择一个接近函数 f(x) 零点的点，如图为 $ (x_n, f(x_n)) $ ，计算相应的切线斜率 $ {f^{’}(x_n)} $ ，$ k = tan\alpha = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 得到如下方式
y = f ( x n ) + f ′ ( x n ) ( x n + 1 − x n ) y = f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1} - x_n) y=f(xn)+f′(xn)(xn+1−xn)
和 x 轴的交点坐标，也就是下面方式的解：
f ( x n ) + f ′ ( x n ) ( x n + 1 − x n ) = 0 f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1} - x_n) = 0 f(xn)+f′(xn)(xn+1−xn)=0
通常 x n + 1 x_{n+1} xn+1 会比 x n x_n xn 更接近方程的解，接下来继续迭代，直到达到要求的精度即可。
x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) \mathbb{x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f^{'}(x_n)}} xn+1=xn−f′(xn)f(xn)
例： 求 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ax3+bx2+cx+d=0 方程的根，系数分别是1，2，3，4。求x在1附件的一个实根。
function f(a, b, c, d) {
let x0, x1 = 1, f0, f1
do {
x0 = x1
f0 = a * Math.pow(x0, 3) + b * Math.pow(x0, 2) + c * x0 + d
// 求导后函数
f1 = 3 * a * Math.pow(x0, 2) + 2 * b * x0 + c
x1 = x0 - f0/f1
} while (Math.abs(x1 - x0) >= Math.pow(Math.E, -4))
return x1
}
例：求根号x的近似值
x 2 = n x 2 − n = 0 f ( x ) = x 2 − n x^2 = n\\ x^2 - n = 0\\ f(x) = x^2 - n x2=nx2−n=0f(x)=x2−n
我想求根号2等于多少，我猜测值为4，根据牛顿迭代定律： x_{n+1} = x - \frac{x^2 - n}{2x} = \frac{1}{2}(x + \frac{n}{x})
1 2 ( 4 + 2 4 ) = 2.25 1 2 ( 2.25 + 2 2.25 ) = 1.56944 1 2 ( 1.56944 + 2 1.56944 ) = 1.42189 1 2 ( 1.42189 + 2 1.42189 ) = 1.41423 \frac{1}{2}(4 + \frac{2}{4}) = 2.25\\ \frac{1}{2}(2.25 + \frac{2}{2.25}) = 1.56944\\ \frac{1}{2}(1.56944 + \frac{2}{1.56944}) = 1.42189\\ \frac{1}{2}(1.42189 + \frac{2}{1.42189}) = 1.41423 21(4+42)=2.2521(2.25+2.252)=1.5694421(1.56944+1.569442)=1.4218921(1.42189+1.421892)=1.41423
function mySqrt (num) {
let x0, x1 = 4, f0, f1
do {
x0 = x1
f0 = Math.pow(x0, 2) - num
// 求导后函数
f1 = 2 * x0
x1 = x0 - f0/f1
} while (Math.abs(x1 - x0) >= Math.pow(Math.E, -4))
return x1
}
引深：
物体直线运动时，路程 s 与时间 t 的函数关系为 s = f ( t ) s = f(t) s=f(t) ，且 f ( t ) f(t) f(t) 在 t = t 0 t = t_0 t=t0 时的导数 f ′ ( t 0 ) f'(t_0) f′(t0) 存在；则在物理上， f ′ ( t 0 ) f'(t_0) f′(t0) 表示物体在时刻 $ t_0$ 的瞬时速度 v ( t ) v{(t)} v(t)，而 v ′ ( t ) v'{(t)} v′(t) 为加速度，即时间 f ’ ′ ( t ) f’'(t) f’′(t) 为加速度！