poisson方程组矩阵

列出公式，然后离散化。最后对每个像素都满足公式，所以能得到稀疏矩阵A。

矩阵A为弱对角占优矩阵。比如若其中对角线为4，则该行其它元素有4个-1，其它均为0。

由于有边界条件，边界值已知，所以对于公式中的fq若是边界值，则可以移到右边去。

所以最终矩阵A满足：某一些行为强对角占优，其它行为弱对角占优。

则矩阵A很容易看出为对称矩阵。   并且，是非奇异矩阵。

大致证明思路：

         令Ax=0，则A非奇异等价于Ax=0只有零解。（高等代数）

 Ax=0肯定有解（至少有0解）。 则解x分量里有个绝对值最大的分量xk，考虑该分量所在行是弱对角占优（若在强对角占优，则会推出该分量为0），则有其它非对角元素所对应的分量值大小均为xk。然后不断扩散出去。最后所有分量值均为xk。  并且在强对角占优的那行会推出xk=0。

       从而x=0。所以Ax=0推出x=0。所以Ax=0只有零解。所以A非奇异。

已经得到A为实对称非奇异矩阵，下证A为正定矩阵。

利用圆盘定理：

由圆盘定理可以轻易得到，

由于对角线元素都大于0，且为弱对角占优矩阵。所以所有特征值均在[0,a]区间里a为某常数。即特征值为非负数。此时已经可以得到矩阵为半正定矩阵。

并且特征值不能为0，否则，Ax=0有非零解，与A非奇异矛盾。

或者由定理 特征值之和为矩阵对角线元素之和，特征值之积为矩阵行列式值，A非奇异，所以行列式不为0，所以特征值不为0。

所以特征值均为正数。从而得到A为对称正定矩阵（对称正定矩阵必为非奇异矩阵）。

       类似形式的矩阵，都能类似得到，矩阵为对称正定矩阵，非奇异。

圆盘定理对于特征值范围的估计作用还是非常大的。

还有圆盘第二定理：

圆盘定理的应用例子可以看链接中的那些样例，可以理解的更深刻一些。

圆盘定理