数学之美—泰勒展开式

1：背景
首先给大家介绍两位数学界泰斗：

   麦克劳林，18世纪英国最具有影响的数学家之一。
  他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说，还把级数作为求积分的方法，以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式，并用待定系数法给予证明。

  泰勒，英国数学家。泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。

2：推导
  第一次见到泰勒公式长这样，内心是不是崩溃的？

  下面我们就用一种简单的方式来理解泰勒公式，让不简单变成简单！
  相信大家都会求导吧，给定一个f(x)，都可以唯一确定一个导函数f '(x)，导函数给出了原函数的变化情况。
比如f(x)=x^3,导函数为f’(x)=3x ^2
  但是，倒过来就不行了，一个导函数f’(x)=3x2对应原函数为f(x)=3x2+1，f(x)=3x2+2, f(x)=3x2+3….无穷多个
写成积分形式就是

  具体求导过程很多，为什么呢？因为在求导的过程中，我们虽然得到的函数今后的变化情况，但损失了一部分信息，就是原函数的初始值。概括一下，原函数的信息=导函数的信息+初始值信息。
  初始值信息没了，一个导函数就对应多个原函数了。
  知道了原因，就可以去掉上面的C常量，加入初始值信息就可以了

  其中f(0)就是初值信息，并且初值信息不一定从0开始，可以从任意位置开始，这时候可以得到：

继续这个过程：

  无限做下去，前面是余项，整个是泰勒展开式。

3：答疑
  1）：概念不清楚，不知道泰勒公式具体是干什么的？
  泰勒公式一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。

  2）：在对泰勒公式进行求导时注意的问题。
  对f(x)求到n阶导数时，有 f(x)^(n)=f(x0)n*1=Rn^(n)(x) ，之后还需要继续求n+1阶导数，得到 f(x)^(n+1)=Rn(n+1)(x) 。

  3）：为什么证明泰勒公式时不可以应用n次洛必达法则？
  关键在于洛必达法则使用的条件，洛必达法则使用的条件之一是f(x)在x0的某领域内可导，注意是x0的某领域，并不是在x0处可导就可以使用，同济7版教材书138页最下面你可以看见一句话，他也说的是在x0的某领域存在n–1阶导数，所以Rn(x)在x0处n阶可导，只能推出Rn(x)在x0的某领域内n-1阶可导，为什么？你可以看一下导数的定义，一阶可导要求f(x)在x0某领域有定义，所以只能使用n–1次洛必达法则，如果你想使用n次洛必达，你必须保证Rn(x)在x0某领域内n阶可导，显然前提条件只给了在x0处
4：泰勒公式的应用
  在了解泰勒公式来源什么？是什么？之后，我们更需要知道它能做什么？下面介绍泰勒公式的应用。泰勒公式在分析和研究数学方面，都有着重要的作用。
泰勒公式主要有以下六个应用：
一：求极限
二：求高阶导数
三：证明不等式
四：判断散列性
五：计算近似值
六：求函数的麦克劳林展开式
  可以看出泰勒公式在微积分各个方面都有重要的应用。但是运行泰勒公式需要注意两点：
  （1）一般将函数展开成比最高阶导数低一级即可
  （2）恰当选择等式两边的x与xo。只要注意分析，研究题设条件及其形是特点，并注意归纳，就能很好的应用泰勒公式。