常用的COMSOL操作符和数学函数
算符
| d(f,x) |
f对x方向的微分 1. 使用d算符来计算一个变量对另一个变量的导数，如：d(T,x)指变量T对x求导,而d(u^2,u)=2*u等； 2. 如果模型中含有任何独立变量，建模中使用d算符会使模型变为非线性； 3. 在解的后处理上使用d算符，可以使用一些预置的变量，如：uxx,d(ux,x),d(d(u,x),x)都是等效的； 4. pd算符与d算符类似，但对独立变量不使用链式法则； 5. d(E,TIME)求解表达式E的时间导数； 6. dtang算符可以计算表达式在边界上的切向微分（d算符无法计算），在求解域上使用dtang等价于d，dtang只求解对坐标变量的微分，但需要注意的是并不是所有的量都有切向微分。
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| pd(f,x) |
f对x方向的微分 pd和d的区别： d(u+x,x)=ux+1，d(u,t)=ut，u和x,t等有关 pd(u+x,x)=1，pd(u,t)=0，u是独立的和x,t无关 |
| dtang(f,x) |
边界上f对x的切向微分 在边界上d(u,x)不能定义，但是可以使用dtang(u,x)，dtang付出基本的微分法则，如乘积法则和链式法则，但是需要指出的是，dtang(x,x)不一定等于1。 |
| test(expr) |
试函数 用于方程弱形式的算符，test(F(u,∇u))等价于：
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| var(expr,fieldname1, fieldname2, ...) |
变异算子 用于弱形式，它和test算符功能相同，但是仅用于某些特定的场中； 如var(F(u,∇u, v,∇v),a)，变量u是a场的变量，而v不是。 试函数之只作用于变量u。
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| nojac(expr) |
对Jacobian矩阵没有贡献 将表达式排除在Jacobian计算外，这对那些对Jacobian贡献不大，但是计算消耗很大的变量是否有效； k-e 湍流模型就是利用 nojac算符来提高计算性能的例子。 |
| up(expr) |
上邻近估算表达式 up，down，mean算符只能用在边界上，对于一个表达式或变量在边界处两边不连续，COMSOL通常显示边界的平均值，使用up，down可计算某个方向上的值。 |
| down(expr) |
下邻近估算表达式 |
| mean(expr) |
邻近边界上的平均值 |
| depends(expr) |
查看某个表达式是否依赖于求解结果 |
| isdefined(variable) |
变量是否定义 |
| dest(expr) |
在目标端计算积分耦合表达式 dest算符强制将source points上的表达式用在destination points上。 例如：u/((dest(x)-x)^2+(dest(y)-y)^2)
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| if(cond,expr1,expr2) |
条件表达式 例如：if(x==0,1,sin(x)/x) |
| isinf(expr) |
表达式的值是否是无穷大 |
| islinear(expr) |
解是否是线性函数 |
| isnan(expr) |
表达式是否是非数 |
| with |
调用某个解 例如with(3,u^2)指调用解3的u^2用于本次求解； with只能用于解的后处理，不能用于建模； |
| at |
调用解的某个时间 例如：at(12.5,u) |
| timeint |
表达式的时间积分 timeint(t1,t2,expr,tol,minlen)，t1,t2需要是实数，expr是表达式，tol是容差，默认大小为1e-8，minlen设置积分的最短路径，它需要是正数，默认长度为1e-6。 timeint只能用于解的后处理，不能用于建模； |
| timeavg |
表达式的时间积分平均值 timeavg(t1,t2,expr,tol,minlen) |
| linpoint |
调用线性化点 |
| lindev |
计算在线性化点的表达式 当解存储了一个线性化点，那么表达式在线性化点上先线性化，然后用当前的解来计算； 特别的：当f线性依赖于解，那么lindev(f)=f，如果不依赖则lindev(f)=0; 如果解没有线性化点，那么会报错； |
| lintotal |
调用线性化点的和和线性扰动 |
| lintotalavg |
在各相中计算平均lintotal |
| lintotalrms |
在各相中计算lintotal的RMS lintotalrms(f)=sqrt(lintotalavg(abs(f)^2)) |
| lintotalpeak |
在各相中计算lintotal的最大值 |
| linsol |
调用标准解，如linpoint或lintotal |
| linzero |
计算表达式的根 |
| linper |
标记一个荷载项用于线性扰动求解器 |
| ppr |
精确的派生修复 用polynomial-preserving recovery计算表达式中所有用lagrange形函数差分的变量，如e=ux+vy ppr(e^2)=(ppr(ux)+ppr(vy))^2 |
| pprint |
在各求解域群中精确派生修复 用这些操作符来计算梯度计算中的离散误差 ux-pprint(ux) |
| reacf |
反应力和反应流的精确积分 用于表面积分，如在结构力学中，u,v与x,y位移有关，用reacf(u),reaf(v)计算x,y方向上的反应力； reacf在弱贡献中无效； |
| adj(expr) |
用伴随灵敏度计算表达式 |
| fsens(expr) |
用函数灵敏度计算表达式 |
| sens(expr,i) |
用第二个参数向前灵敏度计算表达式 ∂u/∂q=sens(u,q) |
| realdot(a,b) |
两个复数的点积 realdot(a,b), real(a*conj(b)) |
| shapeorder(variable) |
差分一个变量使用的单元级数 |
| prev(expr,i) |
在i步前计算表达式 向后Euler法： (u-prev(u,1))/timestep |
| bdf(expr,i) |
应用级数为i的向后差分公式 bdf(u,1) = (u-prev(u,1))/timestep |
| subst(expr, expr1_orig, , expr1_subst,...) |
用其他变量或表达式替换一个表达式 subst(hmnf.nutildeinit,p,pin_stat) |
| circint(r,expr), circavg(r,expr), diskint(r,expr), diskavg(r,expr), sphint(r,expr), sphavg(r,expr), ballint(r,expr), ballavg(r,expr) |
计算在一个特殊的形状，曲率为r时的表达式积分或平均值 |
| scope.ati(coordinate exprs,expr) |
计算表达式在i维下的表达式coordinate exprs值 root.mod1.at1(0,y,dom)在2D的一条边的点(0,y)上计算dom |
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数学函数
| abs |
绝对值 |
abs(x) |
| acos |
反余弦 |
acos(x) |
| acosh |
反双曲余弦 (in radians) |
acosh(x) |
| acot |
反余切 (in radians) |
acot(x) |
| acoth |
反双曲余切 (in radians) |
acoth(x) |
| acsc |
反余割 (in radians) |
acsc(x) |
| acsch |
反双曲余割 (in radians) |
acsch(x) |
| arg |
相位角(in radians) |
arg(x) |
| asec |
反正割 (in radians) |
asec(x) |
| asech |
反双曲正割 (in radians) |
asech(x) |
| asin |
反正弦 (in radians) |
asin(x) |
| asinh |
反双曲正弦(in radians) |
asinh(x) |
| atan |
反正切 (in radians) |
atan(x) |
| atan2 |
四象限反正切 (in radians) |
atan2(y,x) |
| atanh |
反双曲正切 (in radians) |
atanh(x) |
| besselj |
一类Bessel函数 |
besselj(a,x) |
| bessely |
二类Bessel函数 |
bessely(a,x) |
| besseli |
一类改性Bessel函数 |
besseli(a,x) |
| besselk |
二类改性Bessel函数 |
besselk(a,x) |
| ceil |
上约数 |
ceil(x) |
| conj |
复共轭 |
conj(x) |
| cot |
余切 |
cot(x) |
| coth |
双曲余切 |
coth(x) |
| csc |
余割 |
csc(x) |
| csch |
双曲余割 |
csch(x) |
| eps |
相对精度 |
eps |
| erf |
误差函数 |
erf(x) |
| exp |
指数函数 |
exp(x) |
| floor |
下约数 |
floor(x) |
| gamma |
Gamma函数 |
gamma(x) |
| i,j |
虚数单位 |
i |
| imag |
虚部 |
imag(u) |
| inf |
无穷 |
inf |
| log |
自然对数 ln |
log(x) |
| log10 |
对数，底数为10 |
log10(x) |
| log2 |
对数，底数为2 |
log2(x) |
| max |
最大值 |
max(a,b) |
| min |
最小值 |
min(a,b) |
| mod |
取模 |
mod(a,b) |
| NaN, |
非数 |
nan |
| pi |
Pi |
pi |
| psi |
Psi函数和它的衍生物 |
psi(x,k) |
| range |
建立一个数列 |
range(a,step,b) |
| real |
实部 |
real(u) |
| round |
四舍五入 |
round(x) |
| sec |
正割 |
sec(x) |
| sech |
双曲正割 |
sech(x) |
| sign |
符号函数 |
sign(u) |
| sin |
正弦 |
sin(x) |
| sinh |
双曲正弦 |
sinh(x) |
| sqrt |
根号 |
sqrt(x) |
| tan |
正切 |
tan(x) |
| tanh |
双曲正切 |
tanh(x) |
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预置的变量
| Time |
t |
| Frequency |
freq |
| Eigenvalues |
lambda |
| Position |
x, y, z, r, X, Y, Z, R |
| Edge/surface parameters |
s, s1, s2 |
| Edge/surface normals |
n, nx, ny, nz, nr |
| Edge tangents |
tx, ty, tz, tr |
| Surface tangents |
t1x, t1y, t1z, t2x, t2y, t2z |
| Edge/surface upward normals |
un, unx, uny, unz，参考方向的左边 |
| Edge/surface downward normals |
dn, dnx, dny, dnz，参考方向的右边 |
| Numerical constants |
eps, i, j, pi |
| Mesh information |
h, dom, meshtype, meshelement, dvol, qual, reldetjac, reldetjacmin |
range函数的用法
range( a,(b-a)/(n-1),b)
10^range(-3,3) 产生：10-3, 10-2, …, 103
1^range(1,10) 产生 10个1
其他的平滑函数
| flsmhs |
y=flsmhs(x,scale) 在阶跃的两端都存在连续过冲的平滑Heaviside函数。 在-scale < x < scale处，flsmhs和flsmsign为7阶多项式，因此它的2阶导数仍然连续；它满足理想Heaviside函数，因此存在一定量的过冲。 |
| flsmsign |
y = flsmsign(x,scale) 近似于符号函数y=sign(x)在-scale < x < scale处平滑过渡 |
| flc1hs |
不含过冲的一阶连续导数的平滑Heaviside函数，导数fldc1hs |
| flc2hs |
不含过冲的二阶连续导数的平滑Heaviside函数，导数fldc2hs |