乘法逆元数论篇【ORZ式教学】

引入篇

乘法逆元较多用于求解除法取模问题
例如：(a/b)%m时，【a%b=c --> (a*m)%(b*m)=c*m】【原式*b再/b】可以将其转换为(a%(b×m))/b，但这样求解的过程依然涉及到除法，所以我们应当避免除法的直接计算。这时候就需要用到我们要讲的乘法逆元。
可以使用逆元将除法转换为乘法：假设b存在乘法逆元，即与m互质（充要条件）。

设c是b的逆元，即 b×c≡1(mod m)
那么有 a/b=(a/b)×1=(a/b)×b×c=a×c(mod m)
即除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模

但是在讲乘法逆元之前就必须要引入一个小的知识点：同余式

如果两个正整数a和b之差能被n整除，那么我们就说a和b对模n同余，记作：a≡b (mod n)。
a≡b(mod n)等价于a与b分别用n去除，余数相同。

算法篇

求乘法逆元的算法有好几种，比如：扩展欧几里得、费马小定理、欧拉函数。下面是这几种算法适用的情况：

• 逆元求解一般利用扩欧。
• 当m为质数的时候直接使用费马小定理
• m非质数使用欧拉函数。

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扩展欧几里得算法

要求a,n互为素数，存在唯一解

代码部分

int extgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    int d = a;
    if(b != 0)
    {
        d = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else
    {
        x = 1;
        y = 0;
    }
    return d;
}
int mod_inverse(int a, int n)
{
    int x, y;
    extgcd(a, n, x, y);
    return (n + x % n) % n;
}
///mod_inverse为对n取模a的逆元

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费马小定理

在n为素数的情况下，对任意的a都有a^n≡a(mod n)
如果a无法被n整除，则有a^(n-1)≡1(mod n)
可以在n为素数的情况下求出一个数的逆元，a×a^(n-2)≡1(mod n)，这时候，a^(n-2)为a的逆元。

代码部分

///这里用到了整数快速幂
ll mult(ll a,ll n)  //求a^n%mod
{
    ll s=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)s=s*a%mod;
        a=a*a%mod;
        n>>=1;
    }
    return s;
} //mult(a,n-2);

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欧拉函数

简单介绍一下欧拉函数：在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。
如果对欧拉函数有兴趣的可以看看：欧拉函数

令φ(n)表示小于等于n且与n互素的正整数的个数。
如果a和n互质，则有a^φ(n)≡1(mod n)，即 a×a^(φ(n)−1)≡1(mod n)，那么a^(φ(n)−1)为a的逆元。
在n为质数的时候φ(n) = n - 1。

代码部分

///欧拉函数
int euler(int n)
{
    int res = n;
    for(int i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n != 1) res = res / n * (n - 1);
    return res;
} 
///求对mod = n,a的逆元
ll mult(ll a,ll n) 
{

    ll s=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)s=s*a%mod;
        a=a*a%mod;
        n>>=1;
    }
    return s;
} //mult(a, euler(n)-1);

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最后加上一个欧拉函数打标的函数

int euler[maxn];
void euler()
{
    for(int i = 0; i < maxn; i++)  euler[i] = i;
    for(int i = 2; i < maxn; ++i)
    {
        if(euler[i] == i)
        {
            for(int j = i; j < maxn; j += i)
            {
                euler[j] = euler[j] / i * (i - 1);
            }
        }
    }
}

参考博客

千千的博客