抽象代数学习笔记五《群：群在集合上的作用，定义与例子》

学习笔记参考：《近世代数初步》第2版 高等教育出版社——石生明编著
注：本篇笔记根据博主个人数学的掌握情况整理

课后习题
1、$V$ 是某域 $F$ 上 $n$ 维线性空间，$G=GL(V)$ 是 $V$ 上全线性变换群，令 $M$ 为 $V$ 的全部子空间的集合，证明 $G$ 在 $M$ 上有群作用；
2、 令 $G$ 是 $n\times n$ 实正交矩阵的群，$M$ 是 $n\times n$ 实对称矩阵的集合，证明下述对应是一个映射：$$G\times M⟶M$$ $$(\mathbf{P},\mathbf{A})⟼\mathbf{P}\circ \mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{A}{\mathbf{P}}^{-1}$$ 且是 $G$ 在 $M$ 上的群作用；
3、写域 $F$ 上多项式 $f(x,y,z)=f(\mathbf{r})$ ，其中 $\mathbf{r}=(x,y,z{)}^T$ ，取 $M$ 为 $F$ 上 $x,y,z$ 的全部多项式的集合，$G$ 为群 $G{L}_3(F)$；对 $\mathbf{A}\in G$ ，令：$${\mathbf{r}}^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }{)}^T=\mathbf{A}(x,y,z{)}^T=\mathbf{A}\mathbf{r}$$ 证明下述对应：$$(\mathbf{A},f)⟼\mathbf{A}\circ f=f({\mathbf{r}}^{\prime })=f(\mathbf{A}\mathbf{r})$$ 是 $G\times M⟼M$ 的一个映射，且是 $G$ 在 $M$ 上的群作用；
4、利用 Cayley 定理证明具有给定阶 $n$ 的互不同构的有限群只有有限个。

参考答案如下：