线性方程组的解个数与秩的关系

线性方程组的解个数与秩的关系

对线性方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其解的数量可以根据$\mathbf{A}$的秩来讨论。$\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$。

1. $r=m<n$，即矩阵$\mathbf{A}$行满秩，此时$\mathbf{A}$有$m$个线性无关的列，也就是说其列空间为${\mathbb{R}}^m$，此时对任意$\mathbf{b}$方程组均有解，同时$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$一定有解（有无非零解，下同），方程组有无穷多解。

2. $r=n<m$，即矩阵$\mathbf{A}$列满秩，此时$\mathbf{A}$有$n$个线性无关的列，方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$一定无解，方程组有$0$或$1$个解（取决于$\mathbf{b}$）。

3. $r<m,n$，即矩阵$\mathbf{A}$行列均不满秩，$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$一定有解，则$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$有$0$或无穷多个解。

4. $r=m=n$，矩阵$\mathbf{A}$是可逆方阵，此时$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$一定无解，并且$\mathbf{A}$的列空间为${\mathbb{R}}^m$，方程组有一个解。