RSA加密原理详解
RSA加密的核心其实是欧拉定理，通过这个定理得到了这种非对称加密算法
一、算法介绍
找到两个素数 p p p和 q q q，并计算 n = p q n=pq n=pq
找到 ( d , φ ( n ) ) (d,\varphi(n)) (d,φ(n))，即 d d d与 φ ( n ) \varphi(n) φ(n)互质，其中 0 < d < φ ( b ) 0<d<\varphi(b) 0<d<φ(b)， φ ( n ) \varphi(n) φ(n)为欧拉函数，是指 < n <n <n且与 n n n互质的正整数的个数
因为 n = p q n=pq n=pq，所以 φ ( n ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) \varphi(n)=(p-1)(q-1) φ(n)=(p−1)(q−1)，也就是说 d d d与 ( p − 1 ) ( q − 1 ) (p-1)(q-1) (p−1)(q−1)互质
再找到 0 < e < φ ( n ) 0<e<\varphi(n) 0<e<φ(n)使得 d e ≡ 1 ( m o d φ ( n ) ) de\equiv1(mod\space\varphi(n)) de≡1(mod φ(n))，即 d e de de除以 φ ( n ) \varphi(n) φ(n)余数为1
那么形成秘钥对 ( n , d ) (n,d) (n,d)和 ( n , e ) (n,e) (n,e)，分别是私钥和公钥
使用秘钥对 ( n , x ) (n,x) (n,x)加密的方法为 f ( a , n , x ) = a x ( m o d n ) f(a,n,x)=a^x(mod\space n) f(a,n,x)=ax(mod n)，解密为同一函数
那么就可以用公钥加密私钥解密或用私钥加密公钥解密，即
B = f ( A , n , d ) B=f(A,n,d) B=f(A,n,d)且 A = f ( B , n , e ) A=f(B,n,e) A=f(B,n,e)
但细心的人会发现，知道 n n n就知道了 φ ( n ) \varphi(n) φ(n)，结合 d d d就可以算出 e e e，这样知道公钥就知道私钥
其实，RSA加密的核心就在于 p p p和 q q q的选择，这两个质数一定要选择的很大，相乘容易，分解难
所以破解往往长达数月( n n n的长度为512和七百多的RSA已经被成功破解)
所以现在 n n n的长度至少为1024，有很多是2048
二、欧拉定理
设 n n n和 x x x为正整数， ( x , n ) = 1 (x,n)=1 (x,n)=1，则有 x φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) x^{\varphi(n)}\equiv1(mod\space n) xφ(n)≡1(mod n)，这就是欧拉定理，下面简单的证明一下
构造 m o d n mod n modn的既约剩余系(不懂的同学们看第三块)
设为 a 1 , a 2 , . . . , a φ ( n ) a_1,a_2,...,a_{\varphi(n)} a1,a2,...,aφ(n)，并找一个与 n n n互质的数 x x x，根据既约剩余系的积不变性(见第三块)，有
既约剩余系 x a 1 , x a 2 , . . . , x a φ ( n ) xa_1,xa_2,...,xa_{\varphi(n)} xa1,xa2,...,xaφ(n)的积与上述既约剩余系的积 m o d n mod\space n mod n同余
设 a 1 , a 2 , . . . , a φ ( n ) a_1,a_2,...,a_{\varphi(n)} a1,a2,...,aφ(n)的积为 k k k，那么第二个既约剩余系的乘积为 k x φ ( n ) kx^{\varphi(n)} kxφ(n)
则有 k ≡ k x φ ( n ) ( m o d n ) k\equiv kx^{\varphi(n)}(mod\space n) k≡kxφ(n)(mod n)，而因为 a i a_i ai与 n n n互质，所以 k k k与 n n n互质，所以两边同时除去 k k k
x φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) x^{\varphi(n)}\equiv 1(mod\space n) xφ(n)≡1(mod n)，得证！
三、既约剩余系
设有正整数 n n n，找到 r r r的集合，其中 1 ≤ r ≤ n 1\le r\le n 1≤r≤n且 ( r , n ) = 1 (r,n)=1 (r,n)=1
设这个集合为 r 1 , r 2 , . . . , r k {r_1,r_2,...,r_k} r1,r2,...,rk，那么根据欧拉函数的定义， k = φ ( n ) k=\varphi(n) k=φ(n)
对于一个 φ ( n ) φ(n) φ(n)元正整数集合，如果对其每一个元素 m o d n mod\space n mod n后得到的集合与上述集合相等
那么称这个集合为 m o d n mod\space n mod n的既约剩余系
而根据上述定义，所有 m o d n mod\space n mod n的既约剩余系 m o d n mod\space n mod n的性质类似
显然，任何两个 m o d n mod\space n mod n的既约剩余系的和与积 m o d n mod\space n mod n同余(因为每个元素对应 m o d n mod\space n mod n同余)
所以既约剩余系有和不变性和积不变性
四、总结
RSA加密算法是通过欧拉定理得到的，该算法的安全性来源于大数分解质因数的困难，在选取 p p p和 q q q的时候要尽可能的大一些
而RSA因为涉及到大数运算，甚至包括幂运算，所以速度比对称加密算法慢得多，一般用于加密对称加密的较短秘钥