笔记 | 大物电磁学复习

电磁学期末复习

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12 静电场

$e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$
${\mathbf{F}}_{21}=k\frac{q_1{q}_2}{r_{21}^2}{\mathbf{e}}_{r21}$
$k=9\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$
$k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$
${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}{\mathrm{C}}^2/(\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2)$
$1\mathrm{V}/\mathrm{m}=1\mathrm{N}/\mathrm{C}$
$E=\frac{\text{d}\Phi }{\text{d}{S}_{\perp }}$
电通量: 通过面元的电场线条数 $\mathbf{E}\cdot \text{d}\mathbf{S}$
${\oint }_S\mathbf{E}\cdot \text{d}\mathbf{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum q_{in}$
高斯定律比库仑定律更普遍

典型静电场

球面内 $E=0$
球面外 $E=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r^2}$
球体内 $E=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{r}{R^3}=\frac{\rho }{3{\epsilon }_0}r$
球体外 $E=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r^2}$
长直导线 $E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}$
平面 $E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$
圆盘周线上的场强 $E=\frac{\sigma x}{2{\epsilon }_0}[\frac{1}{\sqrt{x^2+R_1^2}}-\frac{1}{x^2+R_2^2}]$

电偶极子

沿 $p$ 方向的场强 $\mathbf{E}=\frac{2\mathbf{p}}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}$
中垂线上的场强 $\mathbf{E}=-\frac{\mathbf{p}}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}$
一般情况场强 $\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}[\frac{3(\mathbf{r}\cdot \mathbf{p})\mathbf{r}}{r^2}-\mathbf{p}]$
力矩 $\mathbf{M}=\mathbf{p}\times \mathbf{E}$

13 电势

$\oint \mathbf{E}\cdot \text{d}\mathbf{r}=0$
$U_{12}={\phi }_1-{\phi }_2$
$\phi ={\int }_P^{\infty }\mathbf{E}\cdot \text{d}\mathbf{r}$
$1\text{V}=1\mathrm{J}/\mathrm{C}$
$\mathbf{E}=-\nabla \phi$
一个电荷在电场中某点的电势能, 是属于该电荷与产生电场的电荷系所共有的, 是一种相互作用能
$1\text{e}\text{V}=1.6\times 10^{-19}\mathrm{J}$
电荷系在原来状态的静电能: 将电荷分散到无穷远 电荷间静电力所做的功
$W=\frac{1}{2}\sum q_i{\phi }_i=\frac{1}{2}{\int }_q\phi \text{d}q$
静电学中上式与 $W={\int }_V{w}_e\text{d}V={\int }_V\frac{{\epsilon }_0{E}^2}{2}\text{d}V$ 等价
电偶极子电势 $\phi =\frac{p\cos \theta }{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}=\frac{\mathbf{p}\cdot {\mathbf{e}}_r}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$

14 静电场中的导体

导体静电平衡的条件: ${\mathbf{E}}_{in}=0,{\mathbf{E}}_S\perp 表面$
处于静电平衡的导体: $\sigma ={\epsilon }_{0}E$
有导体存在时静电场的计算: 静电场的基本规律, 电荷守恒, 导体静电平衡条件
静电屏蔽: 金属空壳的外表面上及壳外的电荷在壳内的合场强为 0, 因而对壳内无影响
唯一性定理：在给定条件下, 空间的电场分布和导体表面的电荷分布是唯一确定的
(1) 给定每个导体的总电量
(2) 给定每个导体的电势
(3) 给定一些导体的总电量和另一些导体的电势
可简述为: 给定边界条件后, 静电场的分布就唯一地确定了
镜像法求电场

15 静电场中的介质

将介质插入电容器 $U=U_0/{\epsilon }_{r}E=E_0/{\epsilon }_r{\epsilon }_r>1$
电荷分布不对称的分子: 极性分子, 有固有电矩
正负电荷中心重合: 非极性分子, 无固有电矩. 外加电场会产生比固有电矩小得多的感生电矩
出现在电介质表面的电荷叫面束缚电荷 / 面极化电荷
分子电矩 $\mathbf{p}=q\mathbf{l}$
电极化强度: 单位体积内分子电矩矢量和 $\mathbf{p}=\frac{\sum {\mathbf{p}}_i}{\Delta V}$
$\mathbf{P}=n\mathbf{p}$, $n$ 为电介质单位体积内的分子数, 单位 $\mathrm{C}/{\mathrm{m}}^2$
电极化强度 $\mathbf{P}={\epsilon }_0({\epsilon }_r-1)\mathbf{E}$
电极化率 $\chi ={\epsilon }_r-1$
面束缚电荷 ${\sigma }^{\prime }=\mathbf{P}\cdot {\mathbf{e}}_n$ ${\mathbf{e}}_n$ 由介质指向真空
体束缚电荷 $q_{in}^{\prime }=-\oint \mathbf{P}\cdot \text{d}\mathbf{S}$
${\rho }^{\prime }=-\nabla \cdot \mathbf{P}$
电位移 $\mathbf{D}={\epsilon }_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$
$\oint \mathbf{D}\cdot \text{d}\mathbf{S}=\sum q_{0in}$ $q_{0in}$ 是自由电荷
$\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\mathbf{E}$
边界条件 $E_{1t}=E_{2t}$ $D_{1n}=D_{2n}$
电容器 $C=\frac{Q}{U}$
电容器并联相加, 串联倒数相加
电介质填充两种规律
(1) 按等势面填充: $\mathbf{D}$ 不变, $\mathbf{E}$ 变
(2) 按电场线填充: $\mathbf{D}$ 变, $\mathbf{E}$ 的分布“样子”不变
电容器的能量 $W=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}QU=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$
电场中的能量体密度 $w_e=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\epsilon E^2$
电场中的能量 $W=\int \frac{1}{2}\epsilon E^2\text{d}V$

电容器公式

平行板电容器 $C=\frac{\epsilon S}{d}$
圆柱形电容器 $C=\frac{2\pi L\epsilon }{\ln (R_2/R_1)}$
球形电容器 $C=\frac{4\pi R_1{R}_2\epsilon }{R_2-R_1}$
球形孤立导体电容器 $C=4\pi R\epsilon$

16 恒定电流

电流 $I$ 又叫电流强度
电流密度 $\text{d}I=\mathbf{J}\cdot \text{d}\mathbf{S}$
电流 / 电流密度通亮 $I={\int }_S\mathbf{j}\cdot \text{d}\mathbf{S}$
$\mathbf{J}=qn\mathbf{v}$
$I={\int }_S\mathbf{J}\cdot \text{d}\mathbf{S}=-\frac{\text{d}{q}_{in}}{\text{d}t}$
微分形式 $\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{j}=0$
若 ${\oint }_S\mathbf{J}\cdot \text{d}\mathbf{S}=0$, 则 I 为恒定电流
恒定电场与静电场都服从高斯定律和场强环路积分为零的环路定理
$R=\rho \frac{l}{S}=\frac{l}{\sigma S}$
$\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$

物质导电性能方程 $\mathbf{j}=\sigma \cdot \mathbf{E}$
$\mathbf{j}=\sigma \cdot \mathbf{E}$ 比 $U=IR$ 适用范围更广, 对非均匀导体成立, 对非稳恒电流也成立
稳恒电流和静电场的综合求解的基本方程:
稳恒条件 ${\oint }_S\mathbf{J}\cdot \text{d}\mathbf{S}=0$
环路定理 $\oint \mathbf{E}\cdot \text{d}\mathbf{l}=0$
欧姆定律 $\mathbf{j}=\sigma \cdot \mathbf{E}$
界面关系 $j_{1n}=j_{2n}$, $E_{1t}=E_{2t}$

电容器充电和放电

充电
$q=C\epsilon (1-e^{-\frac{t}{RC}})$
$i=\frac{\epsilon }{R}{e}^{-\frac{t}{RC}}$
$u_c=\epsilon (1-e^{-\frac{t}{RC}})$
放电
$q=Q{e}^{-\frac{t}{RC}}$
$i=\frac{Q}{RC}{e}^{-\frac{t}{RC}}$
$u_c=\frac{Q}{C}{e}^{-\frac{t}{RC}}$
电容器时间常量 $\tau =RC$ 若回路的线度比距离 $c\tau$ 小得多，电场可按恒定电场处理

例题

在平行板电容器内填充两层导电介质, 厚度、介电常数和电导率分别为 $(d_1,{\epsilon }_1,{\sigma }_1)$
和（$d_2,{\epsilon }_2,{\sigma }_2$ ），设电容器两端电压为 $\mathbf{U}$

求:
(1)两介质中的电流密度和电场强度。
(2)介质分界面上的总电荷面密度 ${\sigma }_e$ 和自由电荷面密度 ${\sigma }_{e0}$
解:
(1)由对称性和界面关系: $j_1=j_2=j$
电场强度: $E_1=\frac{j}{{\sigma }_1},E_2=\frac{j}{{\sigma }_2}$
电压关系: $U=E_1{d}_1+E_2{d}_2$
解得: $j_1=j_2=j=\frac{{\sigma }_1{\sigma }_2}{{\sigma }_1{d}_2+{\sigma }_2{d}_1}U$
$E_1=\frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_1{d}_2+{\sigma }_2{d}_1}U,E_2=\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_1{d}_2+{\sigma }_2{d}_1}U$
(2)在界面选扁柱画作少高斯面 $S$
分别用 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{D}$ 的高斯定理:
${\sigma }_e={\epsilon }_0\left(E_2-E_1\right)=\frac{{\epsilon }_0\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}{{\sigma }_1{d}_2+{\sigma }_2{d}_1}U$
${\sigma }_{e0}=D_2-D_1={\epsilon }_2{E}_2-{\epsilon }_1{E}_1=\frac{{\epsilon }_2{\sigma }_1-{\epsilon }_1{\sigma }_2}{{\sigma }_1{d}_2+{\sigma }_2{d}_1}U$

17 磁场和它的源

在所有情况下, 磁力都是运动电荷之间相互作用的表现.
洛伦兹力 磁感应强度 $\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$
$1\text{T}=10^4\mathrm{G}$
磁通量 $\Phi ={\int }_S\mathbf{B}\cdot \text{d}\mathbf{S}$
毕奥 - 萨伐尔定律 $\text{d}\mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\text{d}\mathbf{l}\times {\mathbf{e}}_r}{r^2}$
真空磁导率 ${\mu }_0=\frac{1}{{\epsilon }_0{c}^2}=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{N}/{\mathrm{A}}^2$
$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}$
磁通连续性定理 $\oint \mathbf{B}\cdot \text{d}\mathbf{S}=0$
$\text{d}\mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q\mathbf{v}\times {\mathbf{e}}_r}{r^2}$
安培环路定理 $\oint \mathbf{B}\cdot \text{d}\mathbf{r}={\mu }_0\sum I_{in}$
$\oint \mathbf{B}\cdot \text{d}\mathbf{r}={\mu }_0{\int }_S\left({\mathbf{J}}_c+{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)\cdot \text{d}\mathbf{S}$
传导电流 $I_c$
位移电流 $I_d={\epsilon }_0\frac{\text{d}\Phi }{\text{d}t}={\epsilon }_0\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\int }_S\mathbf{E}\cdot \text{d}\mathbf{S}$
位移电流密度 ${\mathbf{J}}_d={\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$
全电流 $I=I_c+I_d$

典型电流分布的磁场

无限长直电流 $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$
一段直导线 $B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r}(\cos {\theta }_1-\cos {\theta }_2)$
无限长均匀载流薄圆筒 $B_{内}=0,B_{外}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$
无限长直载流密绕螺绕管 / 螺绕环 $B_{内}={\mu }_{0}nI,B_{外}=0$ 对于螺绕环 $n=\frac{N}{2\pi r}$
无限大平面电流 $B\cdot 2l={\mu }_{0}jl$
圆电流圈中心点和轴线上的磁场 $B_{中心}=\frac{{\mu }_{0}I}{2R},B_{轴线}=\frac{{\mu }_{0}IS}{2\pi (R^2+x^2{)}^{3/2}}$

磁矩

$\mathbf{B}=\frac{{\mu }_o}{4\pi r^3}[\frac{3(\mathbf{r}\cdot \mathbf{m})\mathbf{r}}{r^2}-\mathbf{m}],(r>>磁矩线度)$
磁矩、电流圈在外磁场中的势能 $W=-\mathbf{m}{\mathbf{B}}_{外}=-IS\cdot {\mathbf{B}}_{外}$

例题

半径 $R$ 的圆形平行板电容器内充满介电 常数 $\epsilon$ 、磁导率 $\mu$ 的均匀介质，如图已知电容器充电时的 $\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}$ 及其方向，忽略边缘效应
求:$i_d$和$B_p$ $(r<R)$
对圆面 $S$ 有:
$I_d={\iint }_S\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot \mathbf{d}\mathbf{S}={\iint }_{\mathbf{s}}\epsilon \frac{\mathbf{d}\mathbf{E}}{\mathbf{d}t}\mathbf{d}\mathbf{S}=\epsilon \frac{\mathbf{d}\mathbf{E}}{\mathbf{d}t}\pi R^2$
过 P点垂直轴线作环形回路 $L$, 方向和圆面 $S^{\prime }$ 成右手关系:
${\oint }_L\mathbf{H}\cdot \mathbf{d}\mathbf{l}=\mathbf{H}\cdot 2\pi \mathbf{r}=\sum {\mathbf{I}}_{d内}$
$\sum I_{d内}={\iint }_{S^{\prime }}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot \mathbf{d}\mathbf{S}=\pi r^2\mathbf{\epsilon }\frac{\mathbf{d}\mathbf{E}}{\mathbf{d}t}$
$H_P=\frac{\epsilon r}{2}\frac{dE}{dt}$
$B_P=\mu H_P=\frac{\mu \epsilon r}{2}\cdot \frac{dE}{dt}$

18 磁力

$r=\frac{mv}{Bq}$
$T=\frac{2\pi m}{Bq}$
螺旋运动的螺距 $h=\frac{2\pi m}{Bq}{v}_{//}$
霍尔效应 $U_H=\frac{IB}{nqb}$
$\mathbf{F}={\int }_{L}I\text{d}\mathbf{l}\times \mathbf{B}$
磁矩 $\mathbf{m}=SI{\mathbf{e}}_n$
力矩 $\mathbf{M}=\mathbf{m}\times \mathbf{B}$

19 磁场中的磁介质

$B={\mu }_r{B}_0$, ${\mu }_0$ 为相对磁导率
磁化强度 $\mathbf{M}=\frac{\sum {\mathbf{m}}_i}{\Delta V}$
$\mathbf{M}=\frac{{\mu }_r-1}{{\mu }_0{\mu }_r}\mathbf{B}$
面束缚电流密度 ${\mathbf{j}}^{\prime }=\mathbf{M}\times {\mathbf{e}}_n$
总束缚电流 $I^{\prime }=\oint \text{d}{I}^{\prime }={\oint }_L\mathbf{M}\cdot \text{d}\mathbf{r}$
磁感应强度 $\mathbf{B}={\mathbf{B}}_0+{\mathbf{B}}^{\prime }$
磁场强度 $\mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{\mu }=\frac{\mathbf{B}}{{\mu }_0}-\mathbf{M}$
${\oint }_L\mathbf{H}\cdot \text{d}\mathbf{r}=\sum I_{0in}$
磁场的边界条件 $H_{1t}=H_{2t}$, $B_{1n}=B_{2n}$
磁感线穿过两介质分界面 $\frac{\tan {\theta }_1}{\tan {\theta }_2}=\frac{{\mu }_{r1}}{{\mu }_{r2}}$
用封闭铁盒可以实现磁屏蔽

20 电磁感应

感应电动势 $\mathcal{E}=\frac{\text{d}\Psi }{\text{d}t}=-N\frac{\text{d}\Phi }{\text{d}t}$
当穿过各匝线圈的磁通量相等时,N 匝线圈的全磁通为 $\Psi =N\Phi$
动生电动势 $\mathcal{E}={\oint }_L(\mathbf{v}\times \mathbf{B})\text{d}\mathbf{l}$
$|\mathcal{E}|=Blv$
感生电动势 ${\oint }_L{\mathbf{E}}_i\cdot \text{d}\mathbf{l}=-\frac{\text{d}\Phi }{\text{d}t}=-{\int }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot \text{d}\mathbf{S}$
其中 $E_i$ 表示感生电场, 由于静电场的环路积分为零, 所以
${\oint }_L\mathbf{E}\cdot \text{d}\mathbf{r}=-{\int }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot \text{d}\mathbf{S}$
${\Psi }_{21}=M_{21}{i}_1$
${\mathcal{E}}_{12}=-\frac{\text{d}{\Psi }_{21}}{\text{d}t}=-M_{21}\frac{\text{d}i}{\text{d}t}$
$M_{21}$ 是回路 $L_1$ 对回路 $L_2$ 的互感系数, 固定回路的互感系数是一个常数,$M_{21}=M_{12}=M$, $M$ 称作这两个导体回路的互感系数, 简称他们的互感
${\mathcal{E}}_L=-\frac{\text{d}\Psi }{\text{d}t}=-L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}$, $L=\frac{\Psi }{i}$ 为自感系数, 简称自感
自感磁能 $W_m=\frac{1}{2}L{I}^2$
磁场的能量 $W_m=\frac{B^2}{2\mu }V=\int \frac{BH}{2}\text{d}V$
磁能量密度 $w_m=\frac{1}{2}BH$

21 麦克斯韦方程组和电磁辐射

真空中的电磁场规律
$$\{\begin{array}{l}{\oint }_S\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{q}{{\epsilon }_0}=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\int }_V\rho \mathrm{d}V\\ {\oint }_S\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0\\ {\oint }_L\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=-\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}=-{\int }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\\ {\oint }_L\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\mu }_{0}I+\frac{1}{c^2}\frac{\mathrm{d}{\Phi }_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t}={\mu }_0{\int }_s\left(\mathbf{J}+{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\end{array}$$
有介质的情况下
$$\{\begin{array}{l}{\oint }_S\mathbf{D}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}={\int }_V{\rho }_0\mathrm{d}V\\ {\oint }_S\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0\\ {\oint }_L\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=-{\int }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\\ {\oint }_L\mathbf{H}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\int }_S\left({\mathbf{j}}_0+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\end{array}$$
表述为微分形式
$$\{\begin{array}{l}\nabla \cdot \mathbf{D}={\rho }_0\\ \nabla \cdot \mathbf{B}=0\\ \nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\\ \nabla \times \mathbf{H}={\mathbf{j}}_0+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\end{array}$$
对于各向同性的线形介质, 有
$$\mathbf{D}={\epsilon }_0{\epsilon }_{\mathrm{r}}\mathbf{E},\mathbf{B}={\mu }_0{\mu }_{\mathrm{r}}\mathbf{H},{\mathbf{j}}_0=\sigma \mathbf{E}$$
洛伦兹力公式
$\mathbf{F}=q\mathbf{E}+q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$
界面关系
$$\{\begin{array}{l}{E}_{1t}=E_{2t}\\ D_{1n}-D_{2n}={\sigma }_0\\ H_{1t}-H_{2t}=({\mathbf{i}}_0\times {\mathbf{e}}_{\mathbf{n}})\cdot {\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}\\ B_{1n}=B_{2n}\end{array}$$

平面电磁波是横波

右手关系 $\frac{\mathbf{E}}{E}\times \frac{\mathbf{H}}{H}=\frac{\mathbf{u}}{u}$
振幅关系 $\sqrt{\mu }H=\sqrt{\epsilon }E$
$\frac{E}{B}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu }}=u$
波速、折射率 $u=\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu }}$ $c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$ $n=\sqrt{{\epsilon }_r{\mu }_r}$ $u=\frac{c}{n}$ (对于非铁磁质 $n=\sqrt{{\epsilon }_r{\mu }_r}\approx \sqrt{{\epsilon }_r}$)平面电磁波的能量密度 $w=\epsilon E^2=\frac{EH}{u}$
单位时间内通过与传播方向垂直的单位面积的能量, 叫电磁波的能流密度, 其时间平均值就是电磁波的强度. 能流密度矢量 $\mathbf{S}$ 又被称作波印亭矢量
$\mathbf{S}=\mathbf{E}\times \mathbf{H}$
${\mathbf{S}}_{//}$ 沿导线由电源传向负载
${\mathbf{S}}_{\perp }$ 沿径向由外向内传播，补偿导线的焦耳热损耗
电磁波质量密度 $m=\frac{w}{c^2}=\frac{EH}{c^{2}u}$
电磁波动量密度 $\mathbf{g}=m\mathbf{u}=\frac{1}{c^2}\mathbf{E}\times \mathbf{H}=\frac{\mathbf{S}}{c^2}$
辐射压强 全反射 $p_r=2g\cdot c=2\frac{EH}{c}$ 全吸收 $p_r^{\prime }=g\cdot c=\frac{EH}{c}$