MIT 线性代数导论 第四讲：矩阵的LU分解

这一讲的主要内容有：

• 矩阵转置与逆的顺序问题
• 矩阵$A$ 的 $LU$ 分解
• 置换矩阵群

矩阵转置与逆

首先关于矩阵的分解要用到几个定理：
对于矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ ：

求两个矩阵乘积的逆矩阵
只需要交换两个矩阵的逆的顺序并相乘即可，也就是：
$$(AB)X=I,X=B^{-1}{A}^{-1}$$
对于单个矩阵， 转置运算和逆运算可以交换顺序
$$(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$$
证明过程如下：
$A{A}^{-1}=I$ 的左右同时转置，单位阵转置之后仍然是单位阵， 此时也就是 $(A^{-1}{)}^T{A}^T=I$ （注意交换顺序了，这是转置的规则）所以 $(A^{-1}{)}^T$ 是 $A^T$ 的逆矩阵（因为两个矩阵相乘的结果是单位阵）

矩阵 $A$ 的 $LU$ 分解（基础矩阵分解）

这个知识点是比较好理解的，首先来看 对于一个矩阵 $A$ 如何变化为 矩阵 $U$ ，成为一个上三角矩阵？这是上一讲的内容，我们可以左乘一系初等矩阵，来控制行变换，从而得到 $U$ ，以33的矩阵为例：
$$A\to E_{32}{E}_{31}{E}_{21}A=U$$
其中 $E_{32}$ 等下标表示进行组合的行，一个普通的33的矩阵，如果变为上三角矩阵，总共要消去三个元素，也就是对角线下面的三个，因此需要上述式子的三个消元矩阵。
我们对上面的式子进行变形：
$$A=(E_{21}{)}^{-1}(E_{31}{)}^{-1}(E_{32}{)}^{-1}U$$
注意这里是左边三个消元矩阵的逆序逆矩阵，写一下就会注意到。
那么我们索要进行的 $LU$ 分解 中的矩阵 $L$ 也就是上面三个逆矩阵的乘积了，也就是：
$$L=(E_{21}{)}^{-1}(E_{31}{)}^{-1}(E_{32}{)}^{-1}$$
看起来很麻烦，还要计算三个消元矩阵，又要计算他们的逆，其实不然，对于初等矩阵，之前讲到过，它的逆只要把变换再还回去就是了，比如矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ 表示将矩阵的第一行乘2加到第二行上（如果用它右乘一个矩阵的话），那么这个操作的逆操作就是从第二行减去2倍的第一行就是了，所以它的逆矩阵就是 $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ 所以其实很简单。

补充置换矩阵的一些内容

这一讲额最后，还补充了一些行变换置换矩阵的问题，比如，3*3的矩阵，它的行变换置换矩阵有几种情况？
其实就是三行的全排列，也就是3的阶乘，其他维数的矩阵计算也是如此。
所有的情况如下：
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$$
这一组矩阵群有个很奇妙的性质，任意两个矩阵的乘积或者逆都在这个矩阵群里，并且每个矩阵的逆矩阵等于它的转置。

以上~