《线性代数及其应用》阅读笔记：一 1.5 线性方程组的解集

《线性代数及其应用》阅读笔记：一 1.5 线性方程组的解集

线性方程组的解集

齐次线性方程组

非齐次线性方程组

平凡解

非平凡解

无解

唯一解

无穷解

一、 齐次线性方程组

1.1. 定义

齐次线性方程组：常数项全为零的线性方程组。
形如：

写做：$Ax=0$，其系数矩阵为A- m*n.
经过初等行变换，系数矩阵A化简到行阶梯形矩阵为：$A^{\prime }-r$(非零行行数)$\ast n$.

1.2. 解集的存在性

1- 齐次线性方程组 解的构成：
1）平凡解/零解：$x=0$.
2）非平凡解/非零解：当$x$至少有一个自由变量时。自由变量的变化带来其他变量值的变化。

2- 齐次线性方程组 解的情况：
1）唯一解：即只有平凡解 $x=0$.
2）无穷解：包括平凡解和非平凡解，此时$x$中至少有一个自由变量。
- 齐次线性方程组一定有解- 必有零解，不存在无解的情况。

1.3. 求解步骤

-	齐次线性方程组的求解步骤
1.	系数矩阵A 初等行变换， 化为行阶梯形矩阵A’；
2.	- 若r(A)=r=n（有效方程个数=未知量的个数），则原方程组仅有零解，即$x=0$，求解结束； - 若r(A)=r有非零解，进行以下步骤：
3.	继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；
4.	选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，得到通解.

1.4. 解集的性质

3- 齐次线性方程组 解的性质：
1）唯一解	2）无穷解
未知数个数n(列)=有效方程个数r(行)	未知数个数n(列)>方程个数m(行)
rank(A)=n	rank(A)
detA≠0/A≠0	detA==0
两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。
解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

二、非齐次线性方程组

2.1. 定义

非齐次线性方程组：常数项不全为零的线性方程组。
写做：$Ax=b$，其系数矩阵为A- m*n.
经过初等行变换，系数矩阵A化简到行阶梯形矩阵为：$A^{\prime }-r$(非零行行数)$\ast n$.
[PS：r(A)表示系数矩阵的秩，r(A,b)表示增广矩阵的秩]

2.2. 解集的存在性

1- 非齐次线性方程组 的通解：
$x=p+tv$， 其中，$p$是特解，$x=tv$是齐次线性方程组$Ax=0$的解。
理解：非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）
几何意义：通过$p$ 且与$v$ 平行的直线方程。

2- 非齐次线性方程组 解的存在性：
1）唯一解：即只有平凡解 $x=0$。
2）无穷解：解$x$ 中至少有一个自由变量。
3）无解。

2.3. 求解步骤

-	非齐次线性方程组的求解步骤
1.	增广矩阵(A,b) 初等行变换， 化为行阶梯形矩阵(A,b)’；
2.	- 若r(A)无解； - 若r(A)=r(A,b)，则原方程组有解，进一步将增广矩阵化为行最简形；
3.	- 若r(A)=n，则方程组有唯一解； - 若r(A)无穷解，进行以下步骤：
4.	选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，得到通解.

2.4. 解集的性质

3- 非齐次线性方程组 解的性质：
1）无解	2）有解
系数矩阵的秩<增广矩阵的秩	系数矩阵的秩=增广矩阵的秩
r(A)	r(A)=r(A,b)
出现形如‘{0=b}’的方程	不存在‘0=b’

4- 非齐次线性方程组 有解时 的性质：
1）唯一解	2）无穷解
未知数个数n(列)=有效方程个数r(行)	未知数个数n(列)>化简后有效方程个数r(行)
r(A)=r(A,b)=n	r(A)=r(A,b)