线性代数及其应用_第一章（线性代数中的线性方程组）

1.1 线性方程组

I.概念　　

　　线性方程

　　线性方程组

　　解

　　解集

　　等价线性方程组

　　相容 / 不相容

　　系数矩阵

　　增广矩阵

　　行等价矩阵

 

1.2 行化简与阶梯形矩阵

I.概念　　

　　先导元素

　　阶梯形

　　简化阶梯型　　缩写RREF

　　主元

　　主元位置

　　主元列

　　行化简算法

　　　　1.从最左的非零列开始，这是一个主元列，主元位置在该列顶端；

　　　　2.在主元列中选取一个非零元素作为主元，若有必要，对换两行使这个元素移到主元位置上；

　　　　3.用倍加行变换将主元下面的元素变成0；

　　　　4.继续对目前操作的主元位置所在行下面的子矩阵重复1-3；

　　　　5.从最右边的主元开始，把每个主元上方的各元素变成0.若主元不是1，用倍乘变换将它变成1.

　　　　注：1到4步为向前步骤，5为向后步骤。第二步中选择一列中绝对值最大的元素作为主元，称为部分主元法。

　　基本变量 / 先导变量

　　自由变量

II.定理 / 定义

　　每个矩阵行等价与唯一的简化阶梯形矩阵

　　线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列

 

1.3 向量方程

I.概念

　　列向量：仅含一列的矩阵

　　Rⁿ：n为正整数，Rⁿ表示所有n个实数数列（或有序n元组）的集合，通常写成n×1列矩阵的形式。

　　线性组合：给定Rn中向量v₁，v₂，···，v_p和标量c₁，c₂，···，c_p，向量 y = c₁v₁+···+c_pv_p 称为向量v₁，v₂，···，v_p以c₁，c₂，···，c_p为权的线性组合。

　

II.定理 / 定义

　　若v₁，v₂，···，v_p是Rⁿ中的向量，则v₁，v₂，···，v_p的所有线性组合所成的集合用记号 Span{v₁，v₂，···，v_p} 表示，称为由v₁，v₂，···，v_p所生成（或张成）的Rⁿ的子集。也就是说，Span{v₁，v₂，···，v_p} 是所有形如 c₁v₁+c₂v₂+···+c_pv_p 的向量的集合，其中c₁，c₂，···，c_p为标量。　　　#　重点：Span 是 Rⁿ 的子集，Span为不同c取值得到的y = c₁v₁+···+c_pv_p集合

 

1.4 矩阵方程 Ax=b

I. 概念

　　R_m中向量集 {v₁，···，v_p} 生成R_m的意思是说，R_m中的每个向量都是 v₁，···，v_p 的线性组合，即 Span{v₁，···，v_p} =R_m.

　　点积

　　单位矩阵 I ，n×n的单位矩阵I_n，对任意Rⁿ中的x，有I_nx=x

II.定理 / 定义

　　若A是m×n矩阵，它的各列为 a₁，···，a_n 。若 x 是 Rⁿ 中的向量，则A与x的积（记为Ax）就是A的各列以x中对应元素为权的线性组合。Ax仅当A的列数等于x中的元素个数时才有定义。

　　若A是m×n矩阵，它的各列为 a₁，···，a_n ，而b属于R^m，则矩阵方程 Ax=b 与向量方程 x₁a₁+x₂a₂+···+x_pa_p =b 有相同的解集。又与增广矩阵为 [a₁ a₂ ··· a_nb ] 的线性方程组有相同的解集。

　　方程 Ax=b 有解当且仅当 b 是 A 的各列的线性组合。

　　设A是m×n矩阵，则下列命题是逻辑上等价的。也就是说，对某个A，它们都成立或者都不成立。（A为系数矩阵，而非增广矩阵）

　　　　a. 对R^m中每个b，方程Ax=b有解。

　　　　b. R^m中的每个b都是A的列的一个线性组合。

　　　　c. A的各列生成R^m。（A的各列生成R^m，意思是R^m中的每个向量b都是A的列的线性组合）

　　　　d. A在每一行都有一个主元位置。

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