《算法笔记》学习日记——8.1 深度优先搜索（DFS）

8.1 深度优先搜索（DFS）

Codeup Contest ID:100000608

问题 A: 【递归入门】全排列

题目描述
排列与组合是常用的数学方法。
先给一个正整数 ( 1 < = n < = 10 )
例如n＝3，所有组合,并且按字典序输出：
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
输入
输入一个整数n( 1<=n<=10)
输出
输出所有全排列
每个全排列一行，相邻两个数用空格隔开（最后一个数后面没有空格）
样例输入

3

样例输出

1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

思路
这题第四章的递归里面有详细的代码，我也是参考了那个。主要的DFS过程就是，如果选完了n个数，说明已经形成了一种方案，就输出，然后回退到上一个“岔路口”，体现在代码中就是hashtable[i] = false（把这个数拿掉）。因为“岔路口”的选择是根据之前选的数来的，所以要用一个for循环。
代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 11; 
bool hashtable[maxn]={0};
int ans[maxn]={0};//存放要输出的结果 
void dfs(int index, int n){
	if(index==n+1){//如果选完了n个数(因为要从1开始填,一直填到n,如果n+1才退出)
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(i==1) printf("%d", ans[i]);
			else printf(" %d", ans[i]);
		}
		printf("\n");
		return;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(hashtable[i]==false){
			ans[index] = i;
			hashtable[i] = true;//说明i已经选中
			dfs(index+1, n);//选下一个数
			hashtable[i] = false; 
		}
	}
}
int main(){
	int n;
	while(scanf("%d", &n) != EOF){
		dfs(1, n);//从1~n进行全排列
		memset(hashtable, 0, sizeof(hashtable)); 
	}
	return 0;
}

问题 B: 【递归入门】组合的输出

题目描述
排列与组合是常用的数学方法，其中组合就是从n个元素中抽出r个元素(不分顺序且r < ＝ n)，我们可以简单地将n个元素理解为自然数1，2，…，n，从中任取r个数。
现要求你不用递归的方法输出所有组合。
例如n ＝ 5 ，r ＝ 3 ，所有组合为：
1 2 3
1 2 4
1 2 5
1 3 4
1 3 5
1 4 5
2 3 4
2 3 5
2 4 5
3 4 5
输入
一行两个自然数n、r ( 1 < n < 21，1 < ＝ r < ＝ n )。
输出
所有的组合，每一个组合占一行且其中的元素按由小到大的顺序排列，所有的组合也按字典顺序。
思路
这题只要在全排列代码的基础上改一下就行了，如果出现问题，请用单步调试并添加关键变量来查看整个递归过程，看看到底哪儿错了，千万不要自己想，我就是在这里卡了好久，因为我一开始在处理下一个数递归函数中写的是dfs(index+1, nowNum+1, n, r)，结果就出现了{1,4,3}这种排列的错误，用了单步调试才发现，在处理第三个位置的数时，nowNum始终是3（可以从数值上理解为此时的nowNum和index同步了，index是3，nowNum也是3），而我们期望的是5，因此，下一个位置的数的nowNum应该是当前数的下一个（当前数是i，因为下一个位置的数nowNum应该是i+1），这样才不会出现降序的情况。
代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 22; 
bool hashtable[maxn]={0};
int ans[maxn]={0};//存放要输出的结果
void dfs(int index, int nowNum, int n, int r){//nowNum记录当前放的数字 
	if(index==r+1){//如果选完了n个数(因为要从1开始填,一直填到n,如果n+1才退出)
		for(int i=1;i<=r;i++){
			if(i==1) printf("%d", ans[i]);
			else printf(" %d", ans[i]);
		}
		printf("\n");
		return;
	}
	for(int i=nowNum;i<=n;i++){
		if(hashtable[i]==false){
			ans[index] = i;
			hashtable[i] = true;//说明i已经选中
			dfs(index+1, i+1, n, r);//选下一个数,nowNum应该是当前数i的下一个数 
			hashtable[i] = false; 
		}
	}
}
int main(){
	int n, r;
	while(scanf("%d%d", &n, &r) != EOF){
		dfs(1, 1, n, r);//从第1位的数字1开始排列 
		memset(hashtable, 0, sizeof(hashtable)); 
	}
	return 0;
}

问题 C: 【递归入门】组合+判断素数

题目描述
已知 n 个整数b₁,b₂,…,b_n
以及一个整数 k（k＜n）。
从 n 个整数中任选 k 个整数相加，可分别得到一系列的和。
例如当 n=4，k＝3，4 个整数分别为 3，7，12，19 时，可得全部的组合与它们的和为：
3＋7＋12=22　　3＋7＋19＝29　　7＋12＋19＝38　　3＋12＋19＝34。
现在，要求你计算出和为素数共有多少种。
例如上例，只有一种的和为素数：3＋7＋19＝29。
输入
第一行两个整数：n , k （1<=n<=20，k＜n）
第二行n个整数：x₁,x₂，…,x_n （1<=x_i<=5000000）
输出
一个整数（满足条件的方案数）。
样例输入

4 3
3 7 12 19

样例输出

1

思路
从n个整数中挑选k个数的思路和上一题类似，找过的数不必再找（数学中的C(n,m)，不看重前后顺序），因此递归处理下一个数的时候，需要将i+1传入nowi的值以改变for循环的初始值（从下一位开始循环，比如{3,7,12}和{3,7,19}，3和7确定之后，只要从12开始循环以此找到第三个数，其他情况同理）。

那么在“死胡同”里的判断方法就是，如果挑选好了k个数（index==k+1），就进入两个方向的选择，如果是素数，那么方案数cnt++，并清空sum，如果不是素数，那么清空sum之后直接return返回上一层即可。这里要注意的是，我选择了temp数组来暂存选择的数，然后在挑选好数之后，再进行sum，如果在挑选的时候就直接sum += 的话，那么返回上一个“岔路口”的时候，sum值的处理会很麻烦。此外，在dfs里实际的参量只有index和nowi两个量是需要处理的，因为考虑到cnt是要返回的，同时也要读入n和k的值，我这里都用了别名，这样的话，函数处理完之后，cnt就是我们要的结果。
代码

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 21;
int p[maxn]={0};//用于存放输入的数 
int temp[maxn]={0};//暂存选中的数 
bool hashtable[maxn]={0};
bool is_prime(int x){
	if(x<=1) return false;
	int sqr = (int)sqrt(1.0*x);
	for(int i=2;i<=sqr;i++){
		if(x%i==0) return false;
	}
	return true;
}
void dfs(int &n, int &k, int index, int nowi, int &sum, int &cnt){
	if(index==k+1){//如果选完了k个数
		for(int i=1;i<=k;i++) sum += temp[i];//计算挑选的k个数的和 
		if(is_prime(sum)==true){//如果和是素数
			sum = 0;//清零 
			cnt++;
			return; 
		} 
		else{//如果和不是素数
			sum = 0;//清零 
			return;
		}
	}
	for(int i=nowi;i<=n;i++){
		if(hashtable[i]==false){//i号位的数未被选中
			temp[index] = p[i];//存到temp里 
			hashtable[i] = true;
			dfs(n, k, index+1, i+1, sum, cnt);
			hashtable[i] = false;
		}
	}
}
int main(){
	int n, k;
	while(scanf("%d%d", &n, &k) != EOF){
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d", &p[i]);
		int sum, cnt;
		sum = cnt = 0;
		dfs(n, k, 1, 1, sum, cnt);
		printf("%d\n", cnt);
	}
	return 0;
}

问题 D: 【递归入门】n皇后 问题（原始的8皇后问题）

题目描述
会下国际象棋的人都很清楚：皇后可以在横、竖、斜线上不限步数地吃掉其他棋子。如何将8个皇后放在棋盘上（有8 * 8个方格），使它们谁也不能被吃掉！这就是著名的八皇后问题。
输入
一个整数n（ 1 < = n < = 10 )
输出
每行输出对应一种方案，按字典序输出所有方案。每种方案顺序输出皇后所在的列号，相邻两数之间用空格隔开。如果一组可行方案都没有，输出“no solute!”
样例输入

4

样例输出

2 4 1 3
3 1 4 2

思路
n皇后的问题在第四章的递归里也提到过了，这题的思路和全排列差不多，只不过要筛去对角线的情况（因为对n个数全排列的话，下标代表行号，n个数代表列号，这就意味着这些棋子一定不在同一行同一列上），在这里我用了回溯的写法，如果遇到已经成为对角线的情况，就直接回退，不再往下递归。

另外需要注意的是，这题要记录方案数，n皇后的问题不是都有解的（比如2皇后就无解），这时就要输出"no solute!"，因此我用了cnt作为别名的方式传入函数，这样的话，函数结束之后，cnt就是我们要的方案数，再在主函数判断即可。
代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 11;
bool hashtable[maxn] = {0};
int p[maxn] = {0};//i是行号,p[i]是列号 
void queen(int index, int n, int &cnt){
	if(index==n+1){//如果已经放好了n个数
		cnt++;//方案数+1 
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(i==1) printf("%d", p[i]);
			else printf(" %d", p[i]);
		}
		printf("\n");
		return;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(hashtable[i]==false){
			bool flag = true;
			for(int pre=1;pre<index;pre++){//如果已经发生冲突了,就回溯,不再往后递归 
				if(abs(index-pre)==abs(i-p[pre])){
				//这里不能写p[index]-p[pre],虽然逻辑上没问题,但是此时p[index]还没放东西 
					flag = false;
					break;
				}
			}
			if(flag==true){
				p[index] = i;//p[index]等价于i的值,所以上面写i-p[pre] 
				hashtable[i] = true;
				queen(index+1, n, cnt);
				hashtable[i] = false;
			}
		}
	}
}
int main(){
	int n;
	while(scanf("%d", &n) != EOF){
		int cnt = 0;
		queen(1, n, cnt);//从第1行开始
		if(cnt==0) printf("no solute!\n");
		memset(hashtable, 0, sizeof(hashtable));
		memset(p, 0, sizeof(p));
	}
	return 0;
}

问题 E: 【递归入门】出栈序列统计

题目描述
栈是常用的一种数据结构，有n令元素在栈顶端一侧等待进栈，栈顶端另一侧是出栈序列。你已经知道栈的操作有两•种：push和pop，前者是将一个元素进栈，后者是将栈顶元素弹出。现在要使用这两种操作，由一个操作序列可以得到一系列的输出序列。请你编程求出对于给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n，经过一系列操作可能得到的输出序列总数。
输入
一个整数n（1<=n<=15）
输出
一个整数，即可能输出序列的总数目。
样例输入

3

样例输出

5

提示
先了解栈的两种基本操作，进栈push就是将元素放入栈顶，栈顶指针上移一位，等待进栈队列也上移一位，出栈pop是将栈顶元素弹出，同时栈顶指针下移一位。
用一个过程采模拟进出栈的过程，可以通过循环加递归来实现回溯：重复这样的过程，如果可以进栈则进一个元素，如果可以出栈则出一个元素。就这样一个一个地试探下去，当出栈元素个数达到n时就计数一次(这也是递归调用结束的条件)。
思路
这题一开始没懂啥意思，以为和全排列一模一样，但是样例给3的时候却只有5个方案。后来发现应该是1~n一定要按这个顺序进栈……稍微列举几种情况就能发现，当进栈的次数和出栈的次数都为n的时候，就获得了一种序列（这是“死胡同”），既然这题也不要求输出序列，就更简单了，直接方案数cnt++即可。
那么本题的“岔路口”在哪呢，很简单，把自身想象成那个数，当你进栈之后，只有两个选择：①出栈；②让下一个数进栈。
于是DFS的代码就出来了~
这题要注意的一点主要是入栈和出栈的判断（“岔路口”该怎么走），如果仅判断left的值，就会造成numPUSH超出n的情况，而导致递归爆栈（一直没有return）；如果仅判断numPUSH的值，就会造成left是-1的情况，同样也会导致递归爆栈。所以要是调试的时候直接意外中断的话，多半是有一种情况没有return出来（也就是说，那种情况没有“死胡同”，而是一直走到一个无底洞里去了）。这个时候建议用单步调试看一看参量是不是出错了（我就是这么发现的……-_-||，只能说对堆栈过程的模拟还存在一些细微的逻辑上的错误）。
代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
void dfs(int numPUSH, int numPOP, int n, int left, int &cnt){
//numPUSH是入栈次数,numPOP是出栈次数,left是剩余元素的个数 
	if(numPUSH==n&&numPOP==n&&left==0){//如果入栈和出栈次数都为n次,说明完成了一种序列的选择 
		cnt++;//方案数加1 
		return;
	}
	if(numPUSH==0||left==0){//如果入栈次数是0,或者剩余元素是0 
		dfs(numPUSH+1,numPOP,n,left+1,cnt);//那么只能入栈
	}
	else if(numPUSH==n||left==n){//如果入栈了n次,或者剩余元素已经满了 
		dfs(numPUSH,numPOP+1,n,left-1,cnt);//那么只能出栈 
	}
	else{//普通情况
		dfs(numPUSH+1,numPOP,n,left+1,cnt);//要么继续入栈,同时剩余元素+1 
		dfs(numPUSH,numPOP+1,n,left-1,cnt);//要么出栈,同时剩余元素-1 
	}
}
int main(){
	int n;
	while(scanf("%d", &n) != EOF){
		int cnt = 0;
		dfs(0,0,n,0,cnt);
		printf("%d\n", cnt);
	}
	return 0;
}

问题 F: 【递归入门】走迷宫

题目描述
有一个n*m格的迷宫(表示有n行、m列)，其中有可走的也有不可走的，如果用1表示可以走，0表示不可以走，文件读入这n*m个数据和起始点、结束点(起始点和结束点都是用两个数据来描述的，分别表示这个点的行号和列号)。现在要你编程找出所有可行的道路，要求所走的路中没有重复的点，走时只能是上下左右四个方向。如果一条路都不可行，则输出相应信息(用-1表示无路)。
请统一用 左上右下的顺序拓展，也就是 (0,-1),(-1,0),(0,1),(1,0)
输入
第一行是两个数n，m( 1 < n ， m < 15 )，接下来是m行n列由1和0组成的数据，最后两行是起始点和结束点。
输出
所有可行的路径，描述一个点时用(x，y)的形式，除开始点外，其他的都要用“->”表示方向。
如果没有一条可行的路则输出-1。
样例输入

5 6
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 0
1 1 1 1 1 0
1 1 1 0 1 1
1 1
5 6

样例输出

(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(2,5)->(3,5)->(3,4)->(3,3)->(4,3)->(4,4)->(4,5)->(5,5)->(5,6)
(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(2,5)->(3,5)->(3,4)->(4,4)->(4,5)->(5,5)->(5,6)
(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(2,5)->(3,5)->(4,5)->(5,5)->(5,6)
(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(3,4)->(3,3)->(4,3)->(4,4)->(4,5)->(5,5)->(5,6)
(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(3,4)->(3,5)->(4,5)->(5,5)->(5,6)
(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(3,4)->(4,4)->(4,5)->(5,5)->(5,6)
(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(3,4)->(2,4)->(2,5)->(3,5)->(4,5)->(5,5)->(5,6)
(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(3,4)->(3,5)->(4,5)->(5,5)->(5,6)
(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(3,4)->(4,4)->(4,5)->(5,5)->(5,6)
(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(4,3)->(4,4)->(3,4)->(2,4)->(2,5)->(3,5)->(4,5)->(5,5)->(5,6)
(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(4,3)->(4,4)->(3,4)->(3,5)->(4,5)->(5,5)->(5,6)
(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(4,3)->(4,4)->(4,5)->(5,5)->(5,6)

提示
【算法分析】
用一个a数组来存放迷宫可走的情况，另外用一个数组b来存放哪些点走过了。每个点用两个数字来描述，一个表示行号，另一个表示列号。对于某一个点(x，y)，四个可能走的方向的点描述如下表：
　　　2
1　　x,y　　3
　　　4
对应的位置为：(x, y-1)，(x-1, y)，(x, y+1)，(x+1, y)。所以每个点都要试探四个方向，如果没有走过(数组b相应的点的值为0)且可以走(数组a相应点的值为1)同时不越界，就走过去，再看有没有到达终点，到了终点则输出所走的路，否则继续走下去。
这个查找过程用search来描述如下：
procedure search(x, y, b, p)；{x，y表示某一个点，b是已经过的点的情况，p是已走过的路}
　begin
　　　for i:＝1 to 4 do{分别对4个点进行试探}
　　　begin
　　　　　先记住当前点的位置，已走过的情况和走过的路；
　　　　　如果第i个点(x1，y1)可以走，则走过去；
　　　　　如果已达终点，则输出所走的路径并置有路可走的信息，
　　　　　否则继续从新的点往下查找search(x1，y1，b1，p1)；
　　　end；
　end；
有些情况很明显是无解的，如从起点到终点的矩形中有一行或一列都是为0的，明显道路不通，对于这种情况要很快地“剪掉”多余分枝得出结论，这就是搜索里所说的“剪枝”。从起点开始往下的一层层的结点，看起来如同树枝一样，对于其中的“枯枝”——明显无用的节点可以先行“剪掉”，从而提高搜索速度。
思路
思路和提示的差不多，但是我没有完全按照提示中的search描述来写。提示中的小细节提醒已经非常到位了（包括记录走过的路，以及不能越界问题）。

DFS函数里return的条件很简单，就是当前的x、y坐标到达终点的情况（“死胡同”）（因为路不通的话，就根本无法到达四个if函数，就会自动回退到上一个“岔路口”，然后因为走过的路都会标记，也不会无穷无尽地递归下去）。

然后就是普通情况的描写（“岔路口”）：把当前的x、y在数组b里面置1，代表现在这个位置已经走过，然后把当前点的坐标放入path数组里（我这里的path数组用了vector容器，容器里面的每一个元素是一对pair(x,y)，这正好满足了点的需求，可以理解成path这个容器里放了一堆点。因此，每次到达一个点的时候，就把当前点的坐标放入这个容器里push_back()，如果回退，就把那个点的坐标取出pop_back()），然后用四个if语句按照左上右下的顺序去判断该去哪个岔路口，判断的条件要注意，要那个点有路（a数组中为1），而且那个点没走过（b数组中为0），并且不能越界，要在这张迷宫地图的范围内（1≤x≤n，1≤y≤m）。

如果那个点处理完毕回退回来（不管是到终点回退回来，还是无路可走回退回来），那么就要执行pop_back()，把那个点从path里取出来，然后再把那个点在数组b里置0（←这里的这两个动作没有先后关系哈。如果没有这句话的话，只会输出一条可行的路径，因为采用DFS搜索之后的话，所有点都被标记为走过了，当从终点回退回来的时候，就不会再走任何的点，这里可以参考书上P269的图，走到出口的时候，所有结点都已被遍历，我就是在这里卡了好久-_-||）

然后这个问题就基本上解决了，只不过在使用DFS的时候同样要传入方案数cnt，如果DFS结束之后cnt还是0，就输出无解的情况（即：输出-1）。

另外，我的代码没有做“剪枝”的处理，因为这个二维数组不大，直接写还是能AC的，如果很大的话肯定会超时（因为最坏情况涉及到四个方向的递归，而每个方向的递归又可能会去四个方向进行下一步的递归，即时间复杂度是：O(4ⁿ)），那个时候就一定要做“剪枝”处理了，以提升DFS的搜索速度。
代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 16;
int a[maxn][maxn];//存放迷宫图 
int b[maxn][maxn];//标记已经走过的路
vector<pair<int,int> > path;//存放路径(path里面每一个元素都是pair,代表着一个点) 
void dfs(int xs, int ys, int xe, int ye, int x, int y, int n, int m, int &cnt){
//(xs,ys)是起点,(xe,ye)是终点,(x,y)是当前点,n、m是输入的地图大小,cnt是方案数 
	if(x==xe&&y==ye){
	//如果是到达终点的情况,就输出此时的一条路
		b[x][y] = 1;//b数组相应位置置1
		path.push_back(make_pair(x,y));//把当前点压入path容器里
		cnt++;//方案数加1
		for(int i=0;i<path.size();i++){
			if(i==0) printf("(%d,%d)", path[i].first, path[i].second);
			else printf("->(%d,%d)", path[i].first, path[i].second);
		}
		printf("\n");
		return;//返回上一个"岔路口" 
	}
	b[x][y] = 1;//置当前所在点为1(已经走过)
	path.push_back(make_pair(x,y));//把当前点压入path容器里 
	if(a[x][y-1]==1&&b[x][y-1]==0&&x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m){//如果有路,且没走过,且不越界
		dfs(xs, ys, xe, ye, x, y-1, n, m, cnt); //往(x,y-1)这个点走
		b[x][y-1] = 0;
		path.pop_back();
	}
	if(a[x-1][y]==1&&b[x-1][y]==0&&x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m){//如果有路,且没走过,且不越界
		dfs(xs, ys, xe, ye, x-1, y, n, m, cnt); //往(x-1,y)这个点走
		b[x-1][y] = 0;
		path.pop_back();
	}
	if(a[x][y+1]==1&&b[x][y+1]==0&&x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m){//如果有路,且没走过,且不越界
		dfs(xs, ys, xe, ye, x, y+1, n, m, cnt); //往(x,y+1)这个点走
		b[x][y+1] = 0;
		path.pop_back(); 
	}
	if(a[x+1][y]==1&&b[x+1][y]==0&&x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m){//如果有路,且没走过,且不越界
		dfs(xs, ys, xe, ye, x+1, y, n, m, cnt); //往(x+1,y)这个点走
		b[x+1][y] = 0;
		path.pop_back();
	}
} 
int main(){
	int n, m;
	while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF){
		for(int i=0;i<maxn;i++) memset(a[i], 0, sizeof(a[i]));
		for(int i=0;i<maxn;i++) memset(b[i], 0, sizeof(b[i]));
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=m;j++){
				scanf("%d", &a[i][j]);//读入二维数组 
			}
		}
		int x0, y0, x1, y1;
		scanf("%d%d", &x0, &y0);//起点 
		scanf("%d%d", &x1, &y1);//终点 
		int cnt = 0;
		dfs(x0, y0, x1, y1, x0, y0, n, m, cnt);//开始DFS 
		if(cnt==0){//如果没有一种可行方案 
			printf("-1\n");
		}
		for(int i=0;i<maxn;i++) memset(a[i], 0, sizeof(a[i]));
		for(int i=0;i<maxn;i++) memset(b[i], 0, sizeof(b[i]));
	} 
	return 0;
}

小结

事实证明代码写得多真的有利于对各种算法的理解(๑•̀ㅂ•́)و✧，我之前对递归一直都读不懂（比如全排列和n皇后问题，第一次看的时候真的是头晕晕乎乎的，更别说DFS了，在做PAT1018.Public Bike Management这道题的时候，完全看不懂各位大佬的DFS代码，虽然知道DFS是“不撞南墙不回头”的一种搜索方式，但还是不会把这种想法转化为实际的代码）。

经过《算法笔记》的讲解（我认为“死胡同”和 “岔路口”这两个概念对于写DFS函数非常有帮助）和DFS这六个题目的练习，对递归和DFS有了更深的理解，同时也深刻感受到，递归的本质就是DFS（当然，仅是我个人认为的哈），因为即便是斐波那契数列的递归实现，其实也是一种DFS（一直到递归边界这个“死胡同”，然后返回上一个“岔路口”），又比如阶乘的递归实现，只不过此时没有所谓的“岔路口”，是一条路到底的情况，到底了之后再逐层返回。

最后，写DFS的函数时候不要先写函数参数，因为你也不知道这个函数里究竟要用到多少参数，那么就先写主体好了，把“死胡同”和“岔路口”两个部分写清楚，最后再把要用到的参数填进去即可。