跳跃游戏 Jump Game 分析与整理

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给定一个非负整数数组，你最初位于数组的第一个位置。数组中的每个元素代表你在该位置可以向后跳跃的最大长度。

问题一

判断你能不能到达数组的最后一个位置。
思路：从数组的第一个位置开始，往后一格一格遍历数组，当所遍历的位置还没超出可reach范围时，根据跳力更新可reach范围，可遍历的范围必须小于等于reach值。若可reach范围可覆盖数组最后一个位置，则可到达；若不可覆盖则不可到达。

class Solution1{
    public boolean jumpGame(int[] num){
        int N=num.length,reach=0;
        for(int i=0;i<=reach;i++){
            if(reachif(reach>=N-1) return true;
        }
        return false;
    }
}

问题二

若可以到达数组最后一个位置，求出所用最小步数；若不可到达，返回-1。
思路：参照问题一，只不过在遍历时要更加细化一些，在遍历完x步可到的位置后，和遍历x+1步可到的位置前时，更新步数参数step为x+1。

class Solution2{
      public int jumpGame(int[] num){
        int N=num.length,i = 0,reach=0,step=0,nextReach=0;
        if(N=1) return 0;
        while(i<=reach) {
            for ( ; i <= reach; i++) {
                if (nextReach < i + num[i]) nextReach = i + num[i];
                if (nextReach >= N - 1) return step+1;
            }
            reach=nextReach;
            ++step;//更新step数值后,第step步最远能走到nextReach处
            nextReach=0;
        }
        return -1;
     }
}

问题三

对于数组中的每个位置，到达此位置所需的最小步数是多少。如不可达则为-1。
思路1：参照问题二的解答，每步可达的范围其实已经求出来了。

class Solution3{
      public int[] jumpGame1(int[] num){
        int N=num.length,i=0,j=1,reach=0,step=0,nextReach=0;
        int[] stepNum=new int[N];
        stepNum[0]=0;
        while(i<=reach) {
            for ( ; i <= reach; i++) {
                if (nextReach < i + num[i]) nextReach = i + num[i];
                if (nextReach >= N - 1) {
                    for(;j<=N-1;j++){ stepNum[j] =++step; }
                    return stepNum;
                }
            }
            reach=nextReach;
            ++step;
            nextReach=0;
            for(;j<=reach;j++){ stepNum[j] =step; }
        }
        for(;j<=N-1;j++){ stepNum[j] =-1; }
        return stepNum;
      }
}

思路2：一种很糟糕的暴力解答，遍历每个位置，对于每个位置遍历其跳力，让位置步数+1去尝试“松弛”位置加其跳力后对应的位置的最小步数。

class Solution3{
      public int[] jumpGame2(int[] num){
        int N=num.length,reach=0,nextReach=0;
        int[] stepNum=new int[N];
        for(int i=1;i0]=0;
        for(int i=0;i<=reach;i++){
            for(int j=0;j<=num[i];j++){
                if(i+j>N-1) return stepNum;
                if(stepNum[i]+11;
                if(nextReachif(reach0;
        }
        for(int i=reach+1;i1;
        return stepNum;
     }
}

很明显，这种糟糕的解法时间复杂度是O(n^2)，因为它有很多次无效的尝试松弛的操作，若要在此基础上优化，考虑两点：

• i 不能按++来遍历，要挑着来遍历，那 i 怎么选，在当前 i 的可跳跃范围里面选一个位置 i+j，这个位置再往后面能跳的位置最远，那么 i 的下一个值就选 i+j

对比思想二的那种方法，在一次for循环里面，就是在i+j这个地方将nextReach更新到最大值，到了i+num[i]的地方reach就变成nextReach了，然鹅现在这种方法却是将i变为i+j再往前遍历，光看i它是在跳着走，但遍历它的跳力其实可以看作思想二中的i向前走。于是，思想二中的i是一直向前走，而本方法是走到跳x次能到的最远范围后，再退几步到i+j再往前走。因此考虑第二个改进条件

• 对于选定的 i（假设属于跳x次能到的范围），在每次加跳力j时，使得 i+j 从跳x+1次的范围起点处开始遍历(也就是说 j 不一定从1开始)，那就是线性时间复杂度了。（这样做其实跟前面的解答是一种思想）

  

如图，红色是更新i后的

class Solution3{
      public int[] jumpGame21(int[] num){
        int N=num.length,reach=0,reachAgo=0,nextReach=0,nextI=0;
        int[] stepNum=new int[N];
        for(int i=1;i0]=0;
        for(int i=0;i<=reach;){
            for(int j=reachAgo+1-i;j<=num[i];j++){

                if(i+j>N-1) return stepNum;
                if(stepNum[i]+11;

                if(nextReachif(reachelse{ break;}

            nextReach=0;
            i=nextI;
        }
        for(int i=reach+1;i1;
        return stepNum;
     }
}

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