牛客练习赛9 E题 珂朵莉的数论题

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// 题意： 求第x小的正整数v使得其最小的质因数为质数y，即正好有x-1个[1,v-1]之内的正整数满足其最小的质因数为质数y
若答案超过1000000000则输出0
// 思路: 其实如果范围不大, 我们都可以通过筛法处理. 但是由于数比较大, 也就是当素数因子比较小的时候变不再适用. 方法就是当 y >= p, 可以用1e9/y的筛法处理.
y < p , 就二分答案加容斥来处理

实际上的操作就是类似于筛法, 所以我们check二分答案时, 将小于y的所有的素因子的倍数用容斥从mid中删掉, 那么剩下的就是y是其最小质因数的那些数, 所以我们就可以不断用二分逼近答案, 这就是原理.

AC Code

const int maxn = 1e5+5;
int bound = 1e9;
int a[maxn];
ll x,y;
bool ok[20000000];
void work1() {
    for (int i = 2 ; i < y; i++) {
        if (!ok[i]) {
            for (int j = i ; j <= bound / y ; j += i) {
                ok[j] = 1;
            }
        }
    }
    int cnt = 0;
    for (int i = 1 ; i <= bound / y ; i++){
        if (!ok[i]) {
            cnt++;
            if (cnt == x) {
                cout << i*y << endl;
                return ;
            }
        }
    }
    cout << 0 << endl;
}

vector<int>ve;
ll rr(ll u) {   // 做容斥
    ll sum = 0 ;
    for (int i = 1 ; i < (1 << ve.size()) ; i++) {
        ll tmp = 1, cnt = 0 ; int flag = 0;
        for(ll j = 0;j < ve.size() ; j++) {
            if(i & (1<if (tmp > u) {   // 超过的没有意义.
                    flag = 1;
                    break;
                }
                cnt++;
            }
        }
        if(!flag) {
            if (cnt & 1) sum += u / tmp;
            else sum -= u / tmp;
        }
    }
    return u - sum;
}

void work2() {
    ve.clear();
    for (int i = 2 ; i < y ; i++) {  //选好素因子
        int flag = 0;
        for (int j = 2 ; j*j <= i ; j++) {
            if (i % j == 0){
                flag = 1;
                break;
            }
        }
        if (!flag) ve.pb(i);
    }
    ll l = 1, r = bound, mid, ans = 1;
    while(r >= l) {
        mid = (l + r) >> 1;
        ll tmp = rr(mid);
        if ( tmp >= x) {
            r = mid - 1;
            ans = mid;
        }
        else l = mid + 1;
    }
    if (ans * y > bound) cout << 0 << endl;
    else cout << ans*y << endl;
}

void solve()
{
    while(cin >> x >> y) {
        if (y > 61) work1();
        else work2();
    }
}