数据结构实验之查找二：平衡二叉树
平衡二叉树
对于二叉查找树，尽管查找、插入及删除操作的平均运行时间为O(logn)，但是它们的最差运行时间都是O(n),原因在于对树的形状没有限制。
平衡二叉树又称为AVL树，它或者是一棵空树，或者是有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左右子树的深度之差的绝对值不超过1。二叉树的的平衡因子BF为：该结点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树的所有结点的平衡因子为只可能是：-1、0和1
一棵好的平衡二叉树的特征：
（1）保证有n个结点的树的高度为O(logn)
（2）容易维护，也就是说，在做数据项的插入或删除操作时，为平衡树所做的一些辅助操作时间开销为O(1)
一、平衡二叉树的构造
在一棵二叉查找树中插入结点后，调整其为平衡二叉树。若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树
1.调整方法
（1）插入点位置必须满足二叉查找树的性质，即任意一棵子树的左结点都小于根结点，右结点大于根结点
（2）找出插入结点后不平衡的最小二叉树进行调整，如果是整个树不平衡，才进行整个树的调整。
2.调整方式
（1）LL型
LL型：插入位置为左子树的左结点，进行向右旋转
创建平衡二叉树，我们采用依次插入节点的方式进行。而平衡二叉树上插入节点采用递归的方式进行。递归算法如下：
（1） 若该树为一空树，那么插入一个数据元素为e的新节点作为平衡二叉树的根节点，树的高度增加1。
（2） 若待插入的数据元素e和平衡二叉树（BBST）的根节点的关键字相等，那么就不需要进行插入操作。
（3） 若待插入的元素e比平衡二叉树（BBST）的根节点的关键字小，而且在BBST的左子树中也不存在和e有相同关键字的节点，则将e插入在BBST的左子树上，并且当插入之后的左子树深度增加1时，分别就下列情况处理之。
(a) BBST的根节点的平衡因子为-1（右子树的深度大于左子树的深度）：则将根节点的平衡因子更改为0，BBST的深度不变；
(b) BBST的根节点的平衡因子为0（左右子树的深度相等）：则将根节点的平衡因子修改为1，BBST的深度增加1；
(c) BBST的根节点的平衡因子为1（左子树的深度大于右子树的深度）：若BBST的左子树根节点的平衡因子为1，则需要进行单向右旋转平衡处理，并且在右旋处理后，将根节点和其右子树根节点的平衡因子更改为0，树的深度不变；
若BBST的左子树根节点的平衡因子为-1，则需进行先向左，后向右的双向旋转平衡处理，并且在旋转处理之后，修改根节点和其左，右子树根节点的平衡因子，树的深度不变；
（4） 若e的关键字大于BBST的根节点的关键字，而且在BBST的右子树中不存在和e有相同关键字的节点，则将e插入到BBST的右子树上，并且当插入之后的右子树深度加1时，分别就不同的情况处理之。
（a） BBST的根节点的平衡因子是1（左子树的深度大于右子树的深度）：则将根节点的平衡因子修改为0，BBST的深度不变；
（b） BBST的根节点的平衡因子是0（左右子树的深度相等）：则将根节点的平衡因子修改为-1，树的深度加1；
（c） BBST的根节点的平衡因子为-1（右子树的深度大于左子树的深度）：若BBST的右子树根节点的平衡因子为1，则需要进行两次选择，第一次先向右旋转，再向左旋转处理，并且在旋转处理之后，修改根节点和其左，右子树根节点的平衡因子，树的深度不变；
若BBST的右子树根节点的平衡因子为1，则需要进行一次向左的旋转处理，并且在左旋之后，更新根节点和其左，右子树根节点的平衡因子，树的深度不变。
建树内容转自：http://blog.csdn.net/guoqingshuang/article/details/50190119 感谢大神。Problem Description
根据给定的输入序列建立一棵平衡二叉树，求出建立的平衡二叉树的树根。
Input
输入一组测试数据。数据的第1行给出一个正整数N(n <= 20)，N表示输入序列的元素个数；第2行给出N个正整数，按数据给定顺序建立平衡二叉树。
Output
输出平衡二叉树的树根。
Example Input
5
88 70 61 96 120Example Output
70Hint
#include
#include
typedef struct BiTNode{
int data;
BiTNode *lchild,*rchild;
int id;
}BiTNode,*BiTree;
int max(int a,int b){
return a>b?a:b;
}
int depth(BiTree T){
if(!T)
return -1;
return T->id;
}
BiTree LL(BiTree T){//右旋
BiTree q = T->lchild;
T->lchild = q->rchild;
q->rchild = T;
q->id = max(depth(q->lchild),depth(q->rchild))+1;
T->id = max(depth(T->lchild),depth(T->rchild))+1;
return q;
}
BiTree RR(BiTree T){//左旋
BiTree q = T->rchild;
T->rchild = q->lchild;
q->lchild = T;
q->id = max(depth(q->lchild),depth(q->rchild))+1;
T->id = max(depth(T->lchild),depth(T->rchild))+1;
return q;
}
BiTree LR(BiTree T){
T->lchild = RR(T->lchild);//先左
return LL(T);//后右
}
BiTree RL(BiTree T){
T->rchild = LL(T->rchild);//先右
return RR(T);//后左
}
void creat(BiTree &T,int key){
if(T==NULL){
T= new BiTNode;
T->data = key;
T->lchild = T->rchild = NULL;
T->id = 0;
}
else{
if(keydata){
creat(T->lchild,key);
if(depth(T->lchild)-depth(T->rchild)>1){
if(key < T->lchild->data)
T=LL(T);
else
T=LR(T);
}
}
else if(key>T->data){
creat(T->rchild,key);
if(depth(T->rchild)-depth(T->lchild)>1){
if(key>T->rchild->data)
T=RR(T);
else
T=RL(T);
}
}
}
T->id=max(depth(T->lchild),depth(T->rchild))+1;
}
int main(){
int n,i;
int a[22];
BiTree T;
T = NULL;
scanf("%d",&n);
for(i=0;idata);
return 0;
}