数列 A[n] = p A[n-1] + q A[n-2] の 通项公式

这完全是一个数学问题，但有的时候可以用来解决一些计算机问题，所以简单总结一下。

感谢今天上午学长的精彩讲解。 2018.1.24

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结论

对于数列A，若 An=p⋅An−1+q⋅An−2 A n = p ⋅ A n − 1 + q ⋅ A n − 2

那么A的通项公式就一定能表示成 An=α⋅xn1+β⋅xn2 A n = α ⋅ x 1 n + β ⋅ x 2 n 的形式。

其中 x1,x2 x 1 , x 2 为方程 x2−p⋅x−q=0 x 2 − p ⋅ x − q = 0 的两根。（它们也被称为这个数列的特征根）

证明

我只是一个普通人，所以我并不知道数学家是如何脑洞大开，想出这个结论的，但是我们可以尝试着“反向证明”。（这个证明是我自己胡乱YY的，别听我胡扯！）

假如我们已知一个数列的通项公式为 An=α⋅xn1+β⋅xn2 A n = α ⋅ x 1 n + β ⋅ x 2 n ，那么我们能不能试着反推它的递推式。假如： An=p⋅An−1+q⋅An−2 A n = p ⋅ A n − 1 + q ⋅ A n − 2 ，那么有：

[α⋅xn1+β⋅xn2]=p⋅[α⋅xn−11+β⋅xn−12]+q⋅[α⋅xn−21+β⋅xn−22] [ α ⋅ x 1 n + β ⋅ x 2 n ] = p ⋅ [ α ⋅ x 1 n − 1 + β ⋅ x 2 n − 1 ] + q ⋅ [ α ⋅ x 1 n − 2 + β ⋅ x 2 n − 2 ]

也就是:
[α⋅xn1]+β⋅xn2=[p⋅α⋅xn−11+q⋅α⋅xn−21]+p⋅β⋅xn−12+q⋅β⋅xn−22 [ α ⋅ x 1 n ] + β ⋅ x 2 n = [ p ⋅ α ⋅ x 1 n − 1 + q ⋅ α ⋅ x 1 n − 2 ] + p ⋅ β ⋅ x 2 n − 1 + q ⋅ β ⋅ x 2 n − 2 。

我们不妨假设，这个式子可以拆成两部分：

α⋅xn1=p⋅α⋅xn−11+q⋅α⋅xn−21 α ⋅ x 1 n = p ⋅ α ⋅ x 1 n − 1 + q ⋅ α ⋅ x 1 n − 2

β⋅xn2=p⋅β⋅xn−12+q⋅β⋅xn−22 β ⋅ x 2 n = p ⋅ β ⋅ x 2 n − 1 + q ⋅ β ⋅ x 2 n − 2

系数约掉：

xn1=p⋅xn−11+q⋅xn−21 x 1 n = p ⋅ x 1 n − 1 + q ⋅ x 1 n − 2

xn2=p⋅xn−12+q⋅xn−22 x 2 n = p ⋅ x 2 n − 1 + q ⋅ x 2 n − 2

两个式子分别处以 xn−11,xn−22 x 1 n − 1 , x 2 n − 2 :

x21=p⋅x1+q⇔x21−p⋅x1−q=0 x 1 2 = p ⋅ x 1 + q ⇔ x 1 2 − p ⋅ x 1 − q = 0

x22=p⋅x2+q⇔x22−p⋅x2−q=0 x 2 2 = p ⋅ x 2 + q ⇔ x 2 2 − p ⋅ x 2 − q = 0

这说明如果 x1,x2 x 1 , x 2 恰是 x2−p⋅x−q=0 x 2 − p ⋅ x − q = 0 的两根，该递推式就可行。

（不靠谱的证明到此结束）

以后如果我知道了正确的证明方式我就把正确的证明补上。

用法

这样的话，只需要知道这个数列中的任意两项，带入求出 α,β α , β 就得到了完整的通项公式。

用法案例：斐波那契数列

比如斐波那契数列的通项公式：

斐波那契数列的定义：

F0=F1=1 F 0 = F 1 = 1

Fn=Fn−1+Fn−2:n≥2 F n = F n − 1 + F n − 2 : n ≥ 2

它的特征方程为：

x2−x−1=0 x 2 − x − 1 = 0

两个特征根为： x1=1+5√2,x2=1−5√2 x 1 = 1 + 5 2 , x 2 = 1 − 5 2

所以通项公式为 Fn=α(1+5√2)n+β(1−5√2)n F n = α ( 1 + 5 2 ) n + β ( 1 − 5 2 ) n 。

把 F0,F1 F 0 , F 1 带入通项公式。

F0=α+β=1 F 0 = α + β = 1

F1=α⋅1+5√2+β⋅1−5√2=1 F 1 = α ⋅ 1 + 5 2 + β ⋅ 1 − 5 2 = 1

解方程得：

α=5√+125√,β=5√−125√ α = 5 + 1 2 5 , β = 5 − 1 2 5

所以，斐波那契数列通项公式为： Fn=5√+125√(1+5√2)n+5√−125√(1−5√2)n F n = 5 + 1 2 5 ( 1 + 5 2 ) n + 5 − 1 2 5 ( 1 − 5 2 ) n

注意，这个通项公式是从n=0开始的，我看到百度上给出了从n=1开始的通项公式。

若将 F1=F2=1 F 1 = F 2 = 1 带入通项公式：

F1=α⋅1+5√2+β⋅1−5√2=1 F 1 = α ⋅ 1 + 5 2 + β ⋅ 1 − 5 2 = 1

F2=α⋅(1+5√2)2+β⋅(1−5√2)2=1 F 2 = α ⋅ ( 1 + 5 2 ) 2 + β ⋅ ( 1 − 5 2 ) 2 = 1

解得: α=15√,β=−15√ α = 1 5 , β = − 1 5 。

所以通项公式为: Fn=15√(1+5√2)n−15√(1−5√2)n F n = 1 5 ( 1 + 5 2 ) n − 1 5 ( 1 − 5 2 ) n

这个式子只需要向左平移一下就可以得到刚才求出的从0开始的那个通项公式（这说明我解方程没解错）。

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