2020牛客寒假算法基础集训营——I.建通道【最小生成树 -> 二进制 & 思维】

题目传送门

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题目描述

在无垠的宇宙中，有 n 个星球，第 i 个星球有权值 $v_i$。
由于星球之间距离极远，因此想在有限的时间内在星际间旅行，就必须要在星球间建立传送通道。
任意两个星球之间均可以建立传送通道，不过花费并不一样。第 i 个星球与第 j 个星球的之间建立传送通道的花费是 $\text{lowbit}(v_i\oplus v_j)$，其中 $\oplus$ 为二进制异或，而 $\text{lowbit}(x)$ 为 x 二进制最低位 1 对应的值，例如 $\text{lowbit}(5)=1,\text{lowbit}(8)=8$。特殊地，$\text{lowbit}(0)=0$。
牛牛想在这 n 个星球间穿梭，于是――你需要告诉 牛牛，要使这 n 个星球相互可达，需要的花费最少是多少。

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输入描述:

第一行，一个正整数 n 。
第二行，n 个非负整数 $v_1,v_2,\dots ,v_n$ 。
保证 $1\le n\le 2\times 10^5，0\le v_i<2^{30}$。

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输出描述:

输出一行，一个整数表示答案。

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输入

2
1 2

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输出

1

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说明

$1、2$ 号点之间建立通道，$v_1\oplus v_2=3,\text{lowbit}(3)=1$

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题解

• 首先将权值去重（权值相等的点连接代价为 0 ），设去重后有 m 个点，接下来找到最小的二进制位 k ，满足存在 $v_i$ 的这个二进制位是 0 且存在 $v_j$ 的这个二进制位是 1 ，答案就是 $2^k\times (m-1)$（相当于所有这位是 0 的点与 j 点连边，是 1 的点与 i 点连边）。

• 排序和去重以外时间复杂度 $O(n+\log V)$ ，没有卡 $O(n\log V)$ ，好像两个 $\log$ 也过了。

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AC-Code

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
const int maxn = 2e5 + 5;

int a[maxn];
int main() {
	ios;
	int n;	cin >> n;    ll ans = 0;
	for (int i = 0; i < n; ++i)	cin >> a[i];
	sort(a, a + n);
	int tot = unique(a, a + n) - a;	// 去重
	int v1 = 0, v0 = 0xffffffff;
	for (int i = 0; i < tot; ++i) {	// 取所有的每个位置的 0和1
		v1 |= a[i];
		v0 &= a[i];
	}
	int k = v1 ^ v0;	// 得到既有0又有1的位置
	
	int i = 0;
	while (k > 0) {	// 如果存在计算，不存在的话代价就是0
		int c = 1 << i++;
		if (k & c) {
			ans = c * (tot - 1);
			break;
		}
	}
	cout << ans << endl;
}