174地下城游戏（动态规划——困难）
1、题目描述
一些恶魔抓住了公主（P）并将她关在了地下城的右下角。地下城是由 M x N 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士（K）最初被安置在左上角的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。
骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。
有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。
为了尽快到达公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。
编写一个函数来计算确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。
说明:
骑士的健康点数没有上限。
任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。
2、示例
例如，考虑到如下布局的地下城，如果骑士遵循最佳路径 右 -> 右 -> 下 -> 下，则骑士的初始健康点数至少为 7。
-2 (K) -3 3
-5 -10 1
10 30 -5 (P)
3、题解
基本思想：逆向动态规划，dp[i][j]表示从第i行第j列位置开始到右下角所需的最小能量值。
这道题目首先想到的应该就是动态规划，但是正向动态规划发现当前位置所需的最小能量值取决于后面的房间值，比如当前剩余能量33，最小能量值-7，而右边房间剩余能量值-6，最小能量值-6，按理说从左边到右边房间不需要更新最小能力值，因为-7小于-6所需的最小能量值大，但是如果最后一个房间值是-9，那么最终的最小能量值是-15，如果更新最小能力值，那么最终的最小能量值是-7，所以我想到的是贪心+动态规划，既保存剩余能力值最大的路径以及所需最小能量值最小的路径，但其实还是不合理。这个时候应该想到既然当前所需最小能力值取决于后面的，可以使用逆向动态规划，从终点往起点更新动态方程。
#include
#include
#include
using namespace std;
class Solution {
public:
int calculateMinimumHP(vector>& dungeon) {
//基本思想：逆向动态规划，dp[i][j]表示从第i行第j列位置开始到右下角所需的最小能量值
//这道题目首先想到的应该就是动态规划，但是正向动态规划发现当前位置所需的最小能量值取决于后面的房间值
//比如当前剩余能量33，最小能量值-7，而右边房间剩余能量值-6，最小能量值-6，按理说从左边到右边房间不需要更新最小能力值
//因为-7小于-6所需的最小能量值大，但是如果最后一个房间值是-9，那么最终的最小能量值是-15
//如果更新最小能力值，那么最终的最小能量值是-7
//所以我想到的是贪心+动态规划，既保存剩余能力值最大的路径以及所需最小能量值最小的路径，但其实还是不合理
//这个时候应该想到既然当前所需最小能力值取决于后面的，可以使用逆向动态规划，从终点往起点更新动态方程
int row, col;
row = dungeon.size();
col = dungeon[0].size();
vector> dp(row, vector(col, 0));
dp[row - 1][col - 1] = dungeon[row - 1][col - 1] > 0 ? 1 : 1 - dungeon[row - 1][col - 1];
for (int i = row - 2; i >= 0; i--)
{
dp[i][col - 1] = max(dp[i + 1][col - 1] - dungeon[i][col - 1], 1);
}
for (int j = dungeon[0].size() - 2; j >= 0; j--)
{
dp[row - 1][j] = max(dp[row - 1][j + 1] - dungeon[row - 1][j], 1);
}
for (int i = row- 2; i >= 0; i--)
{
for (int j = col - 2; j >= 0; j--)
{
int down = max(dp[i + 1][j] - dungeon[i][j], 1);
int right = max(dp[i][j + 1] - dungeon[i][j], 1);
dp[i][j] = min(down, right);
}
}
return dp[0][0];
}
};
class Solution1 {
public:
int calculateMinimumHP(vector>& dungeon) {
//基本思想：正向动态规划，只通过了42个测试用例
vector>> dp(dungeon.size() + 1, vector>(dungeon[0].size() + 1, vector(4, 0)));
for (int i = 0; i <= dungeon.size(); i++)
{
dp[i][0][0] = -999999;
dp[i][0][1] = 999999;
dp[i][0][2] = -999999;
dp[i][0][3] = 999999;
}
for (int j = 0; j <= dungeon[0].size(); j++)
{
dp[0][j][0] = -999999;
dp[0][j][1] = 999999;
dp[0][j][2] = -999999;
dp[0][j][3] = 999999;
}
for (int i = 0; i < dungeon.size(); i++)
{
for (int j = 0; j < dungeon[i].size(); j++)
{
if (i == 0 && j == 0)
{
dp[i + 1][j + 1][0] = dungeon[i][j];
dp[i + 1][j + 1][1] = min(0,dungeon[i][j]);
dp[i + 1][j + 1][2] = dungeon[i][j];
dp[i + 1][j + 1][3] = min(0,dungeon[i][j]);
}
else
{
int left_rest, up_rest, left_min, up_min;
left_rest = dp[i + 1][j][0] + dungeon[i][j];
up_rest = dp[i][j + 1][0] + dungeon[i][j];
left_min = min(left_rest, dp[i + 1][j][1]);
up_min = min(up_rest, dp[i][j + 1][1]);
if (up_min > left_min)
{
dp[i + 1][j + 1][0] = up_rest;
dp[i + 1][j + 1][1] = up_min;
}
else
{
dp[i + 1][j + 1][0] = left_rest;
dp[i + 1][j + 1][1] = left_min;
}
left_rest = dp[i + 1][j][2] + dungeon[i][j];
up_rest = dp[i][j + 1][2] + dungeon[i][j];
left_min = min(left_rest, dp[i + 1][j][3]);
up_min = min(up_rest, dp[i][j + 1][3]);
if (up_rest > left_rest)
{
dp[i + 1][j + 1][2] = up_rest;
dp[i + 1][j + 1][3] = up_min;
}
else
{
dp[i + 1][j + 1][2] = left_rest;
dp[i + 1][j + 1][3] = left_min;
}
}
}
}
if (dp[dungeon.size()][dungeon[0].size()][1] >= 0 || dp[dungeon.size()][dungeon[0].size()][3] >= 0)
return 1;
else
return 1 - max(dp[dungeon.size()][dungeon[0].size()][1], dp[dungeon.size()][dungeon[0].size()][3]);
}
};
int main()
{
Solution solute;
vector> dungeon = {
{-2,-3,3 }, { -5,-10,1 }, { 10,30,-5 }, { -7,-8,1 }
};
cout << solute.calculateMinimumHP(dungeon) << endl;
return 0;
}