一阶RC低通滤波器（转）

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【滤波器学习笔记】一阶RC低通滤波

2016年08月11日 20:38:40 吖勉 阅读数：101584

													
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一阶RC低通滤波

从模拟到数字
本文整理自网络、《匠人手记》等书籍文章

• 模拟电路低通滤波时域、频域
• 软件低通滤波

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典型电路

图1 典型RC电路
直流、交流、脉冲信号都可以用它

时域

电容电流：

Ic=dqdt=d(C∙Uo)dt=CdUodtIc=dqdt=d(C•Uo)dt=CdUodt

假设电容初始电压值为0
R=1000Ω
C=4.7uF
Ui=1V
t=0.0001~0.1s
τ=RC
Vc(τ)=0.632

图2 一阶 RC系统的阶跃响应曲线

频域

u1=Ui；u2=Uo；
以电容电压作为输出，电路的网络函数为：

H(jω)=U2U1=1jωCR+1jωC=11+jωRCH(jω)=U2U1=1jωCR+1jωC=11+jωRC

ωc即为截止频率；

幅值和相角函数：

|H(jω)|=11+(ωωc)2−−−−−−−−√|H(jω)|=11+(ωωc)2

θ(ω)=−arctanωωcθ(ω)=−arctanωωc

各变量取值：
R=1000Ω
C=4.7uF

j=−1−−−√j=−1

θ(fc)=-45

f=0.001、1、…….100000

幅频和相频特性图：

图3

图4
幅频特性图的对数表示：

图5

-当ω<ωc时，幅值是平行于坐标的直线，基本无衰减；　

-当ω>>ωc时，是斜率与-20dB/十倍频成比例的一条直线；　

-当ω=ωc时，增益衰减至0.707，即-3dB，相位滞后45度，对应低通滤波器，该频率通常被称为截止频率。

缺点：
采用这种模拟滤波器抑制低频干扰时，要求滤波器有较大的时间常数和高精度的RC网络，增大时间常数要求增大R值，其漏电流也随之增大，从而降低了滤波效果；

软件上的一阶低通滤波

优点：

-采用数字滤波算法来实现动态的RC滤波，则能很好的克服模拟滤波器的缺点；
-在模拟常数要求较大的场合这种算法显得更为实用；
-其对于周期干扰有良好的抑制作用，
-比较节省RAM空间

缺点

-不足之处是带来了相位滞后，导致灵敏度低；
-同时它不能滤除频率高于采样频率的二分之一（称为奈奎斯特频率）的干扰（例如采样频率为100Hz，则它不能滤除50Hz以上的干扰信号）对于高于奈奎斯特频率的干扰信号，应该采用模拟滤波器。
-对没有乘、除法运算指令的单片机来说，程序运算工作量较大

基本滤波算法：

算法由来：
频率分析中一阶RC低通滤波在S域的传递函数：

VoutVin=1RCs+1,(s=jω)VoutVin=1RCs+1,(s=jω)

带入S域传递函数中：

Y(z)X(z)=1RC1−z∧(−1)T+1=TRC(1−z∧(−1))+TY(z)X(z)=1RC1−z∧(−1)T+1=TRC(1−z∧(−1))+T

通过Z变换把S域的传递函数转化成时域的差分方程，分析可得到

一阶RC数字滤波的基本算法

X为输入，Y为滤波后得输出值，则：

Y(n)=a∗X(n)+(1−a)∗Y(n−1)Y(n)=a∗X(n)+(1−a)∗Y(n−1)

a为与RC值有关的一个参数，称为滤波系数，其值决定新采样值在本次滤波结果中所占的权重，其值通常远小于1，当采样间隔t足够小的时候，

a=tRCa=tRC

-滤波系数越小，滤波结果越平稳，但是灵敏度越低；

-滤波系数越大，灵敏度越高，但是滤波结果越不稳定

-本次输出值主要取决于上次滤波输出值，当前采样值对本次输出贡献比较小，起到修正作用；

-截止频率：

fl=a2πtfl=a2πt

例如：t=0.5s (f=2Hz), a=1/32
则fl=(1/32)/(2*3.14*0.5)=0.01Hz;

基本程序：

按照一阶滤波的基本原理与公式写程序，如下：

/*程序中整数运算比小数运算快，为加快程序的处理速度，为计算方便，a取一整数，1-a用256-a来代替，a则取0~255,代表新采样值在滤波结果中的权重（也可将1-a的基数改为100-a，计算结果做相应处理，这里不做说明）*/

#define a 128 

char value; //上次滤波值
char filter()
{
    char new_value;
    new_value=get_ad();//本次采样值
    return(256-a)*value/256+a*new_value/256；
}
   
   
   
   

    
    
    
    
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程序初步优化

减少乘、除的运算次数以提高运算速度。
具体优化办法：
先将新采样值与上次滤波结果进行比较，然后根据比较采用不同的公式计算，这样程序的运算效率提高了一倍；
化解基本公式可得:

当Xn<Y(n−1)时，Yn=Y(n−1)−(Y(n−1)−Xn)×a÷256;当Xn

流程图：

程序：

/*入口：NEW_DATA 新采样值
       OLD_DATA 上次滤波结果
       k        滤波系数(0~255)(代表在滤波结果中的权重)
  出口：         本次滤波结果
 */
 char filter_1(char NEW_DATA,char OLD_DATA,char k)
{
    int result;
    if(NEW_DATA
								

                  					
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一阶RC低通滤波

从模拟到数字 

本文整理自网络、《匠人手记》等书籍文章


模拟电路低通滤波时域、频域
软件低通滤波




典型电路

 

图1 典型RC电路 

直流、交流、脉冲信号都可以用它



时域

电容电流： 

 $$Ic = \dfrac{dq  {}}{dt} = \dfrac{d(C•Uo)  {}}{dt} = C\dfrac{dUo  {}}{dt}$$  

基尔霍夫电压定律得： 

 $$Ui=RC \dfrac{dUo  {}}{dt}+Uo$$  

Ui的单位是伏特，RC的单位为秒，τ=RC； 

解得: 

 $$Uo (t)= Ui(1-e ^∧ (-t/RC))$$  

假设电容初始电压值为0 

R=1000Ω 

C=4.7uF 

Ui=1V 

t=0.0001~0.1s 

τ=RC 

Vc(τ)=0.632 

 

图2 一阶RC系统的阶跃响应曲线




频域

u1=Ui；u2=Uo； 

以电容电压作为输出，电路的网络函数为： 

 $$H(jω)= \dfrac{U2  {}}{U1}=\dfrac{\dfrac{1  {}}{jωC}  {}}{R+ \dfrac{1  {}}{jωC}}  = \dfrac{1  {}}{1+ jωRC}$$  

令ωc=
 $$\dfrac{1  {}}{RC}=\dfrac{1  {}}{τ}$$  

ωc即为截止频率；


幅值和相角函数： 

 $$|H(jω)| = \dfrac{1}{ \sqrt{1 + ( \dfrac{ω  {}}{ωc}) ^2}}$$ 




 $$θ(ω)=-arctan \dfrac{ω  {}}{ωc}$$ 


各变量取值： 

R=1000Ω 

C=4.7uF 

 $$j = \sqrt{-1}$$  

 $$ω = \dfrac{1}{RC}$$  

 $$fc = \dfrac{1}{2πRC}$$  

 $$A(f)=\dfrac{1  {}}{j2πfRC+1}$$  

|A(fc)|=0.707 

 $$θ(f) = \dfrac{180arg(A(f))}{π}$$  

θ(fc)=-45


f=0.001、1、…….100000

幅频和相频特性图： 

 

图3 

 

图4 

幅频特性图的对数表示： 

 

图5

-当ω<ωc时，幅值是平行于坐标的直线，基本无衰减；　

-当ω>>ωc时，是斜率与-20dB/十倍频成比例的一条直线；　

-当ω=ωc时，增益衰减至0.707，即-3dB，相位滞后45度，对应低通滤波器，该频率通常被称为截止频率。

缺点： 

采用这种模拟滤波器抑制低频干扰时，要求滤波器有较大的时间常数和高精度的RC网络，增大时间常数要求增大R值，其漏电流也随之增大，从而降低了滤波效果；



软件上的一阶低通滤波



优点：

-采用数字滤波算法来实现动态的RC滤波，则能很好的克服模拟滤波器的缺点； 

-在模拟常数要求较大的场合这种算法显得更为实用； 

-其对于周期干扰有良好的抑制作用， 

-比较节省RAM空间



缺点

-不足之处是带来了相位滞后，导致灵敏度低； 

-同时它不能滤除频率高于采样频率的二分之一（称为奈奎斯特频率）的干扰（例如采样频率为100Hz，则它不能滤除50Hz以上的干扰信号）对于高于奈奎斯特频率的干扰信号，应该采用模拟滤波器。 

-对没有乘、除法运算指令的单片机来说，程序运算工作量较大



基本滤波算法：

算法由来： 

频率分析中一阶RC低通滤波在S域的传递函数： 

 $$\dfrac{Vout}{Vin}= \dfrac{1}{RCs+1} ,(s=jω)$$  

通过z变换（方法很多，如一阶前向差分、双线性变换等这里用一阶后向差分法） 

 $$s= \dfrac{1-z^∧(-1)}{T} ,T表示采样周期$$ 


带入S域传递函数中： 

Y(z)X(z)=1RC1−z∧(−1)T+1=