洛谷 P2158 [SDOI2008]仪仗队 欧拉函数

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题目大意：如下图，给出一个方阵，求角落里的人可以直接看到的人的数量

题目分析：

1.暴力算法

如果（x,y）位置的人可以被看到，那么（kx,ky）位置的人一定可以被看到，那么我们不难发现，当且仅当，x与y互质的时候可以被看到，否则，会被$(\frac{x}{m},\frac{y}{m})$挡住，（m是最大公约数），显然，我们可以发现，最为暴力的思路就是枚举(x,y)，然后计算$gcd(x,y)$是否为1来判断x与y是否互质。但是，，，显然这种算法的复杂度太高了。我们需要一种更为快捷的方法来计算互质。

2.欧拉函数

接下来是这道题的重点，欧拉函数是指：所有小于n的，并且和n互质的数的个数。
关于欧拉函数的推导过程这里就不细说了（有兴趣自行百度吧，挺有趣的）
下面给出欧拉函数的公式：
$$\phi (n)=n\ast (1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_k})$$
这个公式一定要记下，这个公式一定要记下，这个公式一定要记下
其中$p_i$是n的质因数，并且是不重复的例如$$\phi (12)=12\ast (1-\frac{1}{2})\ast (1-\frac{1}{3})=4$$表示12有4个小于12互质的数1，5，7，11。
有了欧拉函数这等神器我们就可以轻松解决这道题了

3.筛法欧拉函数

顾名思义，用来统计一段区间上面的许多数的欧拉函数，要不然每个数都要做一次质因数分解。
还是利用了筛的思想，我们首先令所有数的欧拉值都是自己，对于质数p，欧拉值是p-1,（除了自己剩下的都和他互质）,然后将所有以p为质因数的合数都乘以$(1-\frac{1}{p})=(p-1)/p$，这样就可以高效地计算区间上的欧拉函数了

int euler[40000+5];
void getEuler(int n){
    memset(euler,0,sizeof(euler));
    euler[1] = 1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(!euler[i])                   //euler[i] = 0说明是一个质数
        for(int j=i;j<=n;j+=i){
            if(!euler[j])euler[j] = j;  //euler[j] = 0只是说明还没赋值
            euler[j] = euler[j] / i * (i-1);
        }
}

下面是这道题的完整代码

#include
#include
#include
#include
#include

using namespace std;

int euler[40000+5];

void getEuler(int n){
    memset(euler,0,sizeof(euler));
    euler[1] = 1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(!euler[i])
        for(int j=i;j<=n;j+=i){
            if(!euler[j])euler[j] = j;
            euler[j] = euler[j] / i * (i-1);
        }
}

int solve(int n){
    int ans = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans += euler[i];
    }
    return ans*2+1;
}

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    if(n == 1){cout<<0;return 0;}
    getEuler(n-1);
    cout<<solve(n-1);
    return 0;
}