B树、B-、B+、B*树

1、B树（或B-树、B_树）

定义：是一种平衡的多路查找树，称为B树（或B-树、B_树）。B 树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉平衡查找树。

B-树结构特性：一棵m 阶的B-树，或者为空树，或为满足下列特性的m 叉树：

1、树中每个结点最多含有m个孩子（m>=2）；

2、除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子（其中ceil(x)是一个取上限的函数）；

3、若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根结点为叶子结点，整棵树只有一个根节点）；

4、所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针都为null)；

5、每个非终端结点中包含有n个关键字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：
       a)   Ki (i=1...n)为关键字，且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。 
       b)   Pi为指向子树根的接点，且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki，但都大于K(i-1)。 
       c)   关键字的个数n必须满足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。

注：可简记 1、根节点孩子数[2,m]   2、非根非叶节点孩子数[ceil(m / 2),m]  3、非叶节点关键字数=该节点孩子数-1  4、叶节点数（即查找失败节点数）= 关键字数+1

B-树的度：B树中每一个结点能包含的关键字数有一个上界和下界。这个下界可以用一个称作B树的最小度数（算法导论中文版上译作度数，最小度数即内节点中节点最小孩子数目）m（m>=2）表示。

B-树的特性：
       1.关键字集合分布在整颗树中；
       2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
       3.搜索有可能在非叶子结点结束；
       4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；
       5.自动层次控制；

B-树的节点定义：

上面的图中比如根结点，其中17表示一个磁盘文件的文件名；小红方块表示这个17文件内容在硬盘中的存储位置；p1表示指向17左子树的指针。

    B树中的每个结点根据实际情况可以包含大量的关键字信息和分支(当然是不能超过磁盘块的大小，根据磁盘驱动(disk drives)的不同，一般块的大小在1k~4k左右)；这样树的深度降低了，这就意味着查找一个元素只要很少结点从外存磁盘中读入内存，很快访问到要查找的数据。

B-树的查找:

B-树的查找类似二叉排序树的查找，所不同的是B-树每个结点上是多关键码的有序表，在到达某个结点时，先在有序表中查找，若找到，则查找成功；否则，到按照对应的指针信息指向的子树中去查找，当到达叶子结点时，则说明树中没有对应的关键码。由于B- 树通常存储在磁盘上，则前一查找操作是在磁盘上进行的，而后一查找操作是在内存中进行的，即在磁盘上找到指针p 所指结点后，先将结点中的信息读入内存，然后再利用顺序查找或折半查找查询等于K 的关键字。

具体步骤：

假如每个盘块可以正好存放一个B树的结点（正好存放2个文件名）。那么一个BTNODE结点就代表一个盘块，而子树指针就是存放另外一个盘块的地址。
下面，咱们来模拟下查找文件29的过程（图为上图B-树）：
1、根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块1，将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 1次】    

2、此时内存中有两个文件名17、35和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：17<29<35，因此我们找到指针p2。

3、根据p2指针，我们定位到磁盘块3，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 2次】    

4、此时内存中有两个文件名26，30和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：26<29<30，因此我们找到指针p2。

5、根据p2指针，我们定位到磁盘块8，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 3次】    

6、此时内存中有两个文件名28，29。根据算法我们查找到文件名29，并定位了该文件内存的磁盘地址。

分析上面的过程，发现需要3次磁盘IO操作和3次内存查找操作。关于内存中的文件名查找，由于是一个有序表结构，可以利用折半查找提高效率。至于IO操作是影响整个B树查找效率的决定因素。当然，如果我们使用平衡二叉树的磁盘存储结构来进行查找，磁盘4次，最多5次，而且文件越多，B树比平衡二叉树所用的磁盘IO操作次数将越少，效率也越高。

B-树的高度：

1、因为根至少有两个孩子，因此第2层至少有两个结点。

2、除根和叶子外，其它结点至少有┌m/2┐个孩子，因此在第3层至少有2*┌m/2┐个结点

3、在第4层至少有2*(┌m/2┐^2)个结点，

4、在第 I 层至少有2*(┌m/2┐^(l-2) )个结点，于是有： N+1 ≥ 2*┌m/2┐I-2；

5、考虑第L层的结点个数为N+1（即是叶节点数），那么2*(┌m/2┐^(l-2)）≤N+1，也就是L层的最少结点数刚好达到N+1个，即： I≤ log┌m/2┐((N+1)/2 )+2；
所以当B树包含N个关键字时，B树的最大高度为l-1（因为计算B树高度时，叶结点所在层不计算在内），即：l - 1 = log┌m/2┐((N+1)/2 )+1。

B-树的插入：

B-树的生成也是从空树起，逐个插入关键字而得。但由于B-树结点中的关键字个数必须≥ceil(m／2)-1，因此，每次插入一个关键字不是在树中添加一个叶子结点，而是首先在最低层的某个非终端结点中添加一个关键字，若该结点的关键字个数不超过m-1，则插入完成，否则要产生结点的“分裂”。

a.利用B-树的查找算法查找关键字的插入位置。若找到，则说明该关键字已经存在，直接返回。否则查找操作必于某个最低层的非终端结点上。

b.判断该结点是否还有空位置。即判断该结点的关键字总数是否满足n<=m-1。若满足，则说明该结点还有空位置，直接把关键字k插入到该结点的合适位置上。若不满足，说明该结点己没有空位置，需要把结点分裂成两个。

分裂的方法是：生成一新结点。把原结点上的关键字和k按升序排序后，从中间位置把关键字（不包括中间位置的关键字）分成两部分。左部分所含关键字放在旧结点中，右部分所含关键字放在新结点中，中间位置的关键字连同新结点的存储位置插入到父结点中。如果父结点的关键字个数也超过（m-1），则要再分裂，再往上插。直至这个过程传到根结点为止。

B-树的删除：

若在B-树上删除一个关键字，则首先应找到该关键字所在结点，并从中删除之，若该结点为最下层的非终端结点，且其中的关键字数目不少于ceil(m/2)，则删除完成，否则要进行“合并”结点的操作。假若所删关键字为非终端结点中的Ki，则可以将指针Ai所指子树中的最小关键字Y替代Ki，然后在相应的结点中删去Y。例如，在下图  图的B-树上删去45，可以*f结点中的50替代45，然后在*f结点中删去50。

首先将要删除的关键字 k直接从该叶子结点中删除。然后根据不同情况分别作相应的处理，共有三种可能情况：
  a.如果被删关键字所在结点的原关键字个数n>=ceil(m/2)，说明删去该关键字后该结点仍满足B-树的定义。这种情况最为简单，只需从该结点中直接删去关键字即可。
  b.如果被删关键字所在结点的关键字个数n等于ceil(m/2)-1，说明删去该关键字后该结点将不满足B-树的定义，需要调整。
  调整过程为：

  1、如果其左右兄弟结点中有“多余”的关键字,即与该结点相邻的右（左）兄弟结点中的关键字数目大于ceil(m/2)-1。则可将右（左）兄弟结点中最小（大）关键字上移至双亲结点。而将双亲结点中小（大）于该上移关键字的关键字下移至被删关键字所在结点中。
  2、如果其左右兄弟结点中没有“多余”的关键字，即与该结点相邻的右（左）兄弟结点中的关键字数目均等于ceil(m/2)-1。这种情况比较复杂。需把要删除关键字的结点与其左（或右）兄弟结点以及双亲结点中分割二者的关键字合并成一个结点,即在删除关键字后，该结点中剩余的关键字加指针，加上双亲结点中的关键字Ki一起，合并到Ai（即双亲结点指向该删除关键字结点的左（右）兄弟结点的指针）所指的兄弟结点中去。如果因此使双亲结点中关键字个数小于ceil(m/2)-1，则对此双亲结点做同样处理。以致于可能直到对根结点做这样的处理而使整个树减少一层。
总之，设所删关键字为非终端结点中的Ki，则可以指针Ai所指子树中的最小关键字Y代替Ki，然后在相应结点中删除Y。对任意关键字的删除都可以转化为对最下层关键字的删除。

a、被删关键字Ki所在结点的关键字数目不小于ceil(m/2)，则只需从结点中删除Ki和相应指针Ai，树的其它部分不变。

b、被删关键字Ki所在结点的关键字数目等于ceil(m/2)-1，则需调整。调整过程如下面所述。

c、被删关键字Ki所在结点和其相邻兄弟结点中的的关键字数目均等于ceil(m/2)-1，假设该结点有右兄弟，且其右兄弟结点地址由其双亲结点指针Ai所指。则在删除关键字之后，它所在结点的剩余关键字和指针，加上双亲结点中的关键字Ki一起，合并到Ai所指兄弟结点中（若无右兄弟，则合并到左兄弟结点中）。如果因此使双亲结点中的关键字数目少于ceil(m/2)-1，则依次类推.

2、B+树

定义：B+树是应文件系统所需而产生的一种B-树的变形树。一棵m阶的B+树和m阶的B-树的差异在于：

1.有n棵子树的结点中含有n个关键字，非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；每个关键字不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点。

2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。为所有叶子结点增加一个链指针；

3.所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含其子树（根结点）中的最大（或最小）关键字。(而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)。非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；非根非叶节点关键字数[ceil(m / 2),m]。

通常在B+树上有两个头指针，一个指向根结点，一个指向关键字最小的叶子结点。

为什么说B+树比B-树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？
1) B+树的磁盘读写代价更低
    B+树的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B-树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。
    举个例子，假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes，而一个关键字2bytes，一个关键字具体信息指针2bytes。一棵9阶B-树(一个结点最多8个关键字)的内部结点需要2个盘快。而B+ 树内部结点只需要1个盘快。当需要把内部结点读入内存中的时候，B-树就比B+ 树多一次盘块查找时间(在磁盘中就是盘片旋转的时间)。
2) B+树的查询效率更加稳定
    由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。
3）数据库索引采用B+树的主要原因是 B-树在提高了磁盘IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题。正是为了解决这个问题，B+树应运而生。B+树只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历。而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作（或者说效率太低）。

B+树的查找：

对B+树可以进行两种查找运算：
1.从最小关键字起顺序查找；
2.从根结点开始，进行随机查找。
在查找时，若非终端结点上的关键值等于给定值，并不终止，而是继续向下直到叶子结点。因此，在B+树中，不管查找成功与否，每次查找都是走了一条从根到叶子结点的路径。其余同B-树的查找类似。

B+树的插入:

m阶B+树的插入操作在叶子结点上进行，假设要插入关键值a，找到叶子结点后插入a，做如下算法判别：
①如果当前结点是根结点并且插入后结点关键字数目小于等于m，则算法结束；
②如果当前结点是非根结点并且插入后结点关键字数目小于等于m，则判断若a是新索引值时转步骤④后结束，若a不是新索引值则直接结束；
③如果插入后关键字数目大于m(阶数)，则结点先分裂成两个结点X和Y，并且他们各自所含的关键字个数分别为：u=大于(m+1)/2的最小整数，v=小于(m+1)/2的最大整数；
由于索引值位于结点的最左端或者最右端，不妨假设索引值位于结点最右端，有如下操作：
如果当前分裂成的X和Y结点原来所属的结点是根结点，则从X和Y中取出索引的关键字，将这两个关键字组成新的根结点，并且这个根结点指向X和Y，算法结束；
如果当前分裂成的X和Y结点原来所属的结点是非根结点，依据假设条件判断，如果a成为Y的新索引值，则转步骤④得到Y的双亲结点P，如果a不是Y结点的新索引值，则求出X和Y结点的双亲结点P；然后提取X结点中的新索引值a，在P中插入关键字a，从P开始，继续进行插入算法；
④提取结点原来的索引值b，自顶向下，先判断根是否含有b，是则需要先将b替换为a，然后从根结点开始，记录结点地址P，判断P的孩子是否含有索引值b而不含有索引值a，是则先将孩子结点中的b替换为a，然后将P的孩子的地址赋值给P，继续搜索，直到发现P的孩子中已经含有a值时，停止搜索，返回地址P。

B+树的删除:

B+树的删除也仅在叶子结点进行，当叶子结点中的最大关键字被删除时，其在非终端结点中的值可以作为一个“分界关键字”存在。若因删除而使结点中关键字的个数少于m/2 （m/2结果取上界，如5/2结果为3）时，其和兄弟结点的合并过程亦和B-树类似。

3、B*树

定义：B*树是B+树的变体，在B+树的基础上(所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针)，B*树中非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）。

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；
B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；
所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

4、小结
B-树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；
B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；
B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3；

B树：有序数组+平衡多叉树；
B+树：有序数组链表+平衡多叉树；
B*树：一棵丰满的B+树。

引用：

    走进搜索引擎的作者梁斌老师针对B树、B+树给出了他的意见（为了真实性，特引用其原话，未作任何改动）：“B+树还有一个最大的好处，方便扫库，B树必须用中序遍历的方法按序扫库，而B+树直接从叶子结点挨个扫一遍就完了，B+树支持range-query非常方便，而B树不支持。这是数据库选用B+树的最主要原因。
    比如要查 5-10之间的，B+树一把到5这个标记，再一把到10，然后串起来就行了，B树就非常麻烦。B树的好处，就是成功查询特别有利，因为树的高度总体要比B+树矮。不成功的情况下，B树也比B+树稍稍占一点点便宜。有很多基于频率的搜索是选用B树，越频繁query的结点越往根上走，前提是需要对query做统计，而且要对key做一些变化。
    另外B树也好B+树也好，根或者上面几层因为被反复query，所以这几块基本都在内存中，不会出现读磁盘IO，一般已启动的时候，就会主动换入内存。”
    Bucket Li："mysql 底层存储是用B+树实现的，知道为什么么。内存中B+树是没有优势的，但是一到磁盘，B+树的威力就出来了"。

参考来源：B树算法与实现  B-树小结汇总  百度百科：B+树  B树算法与实现   从B树、B+树、B*树谈到R 树  B-树和B+树的应用：数据搜索和数据库索引【转】

B+/-Tree原理及mysql的索引分析