回溯算法求全排列

1. 回溯算法思想

一、回溯算法主要思想

回溯法有“通用的解题法”之称。用它可以系统地搜索一个问题的所有解或任一解。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法，它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果不包含，则跳过对以该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则进入该子树，继续按深度优先策略搜索。回溯算法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。回溯法求问题的一个解时，只要搜索到问题的一个解就可结束。这种以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯算法，它适用于解组合较大的问题。

确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点（根结点）出发，以深度优先方式搜索整个解空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。

二、用回溯法解题通常包括以下 3 个步骤

（1）针对所给问题，定义问题的解空间；

（2）确定易于搜索的解空间结构；

（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

三、通用的子集树和排列树算法模型

（1）子集树【时间复杂度 O(2n) 】

void backtrack(int t) {
        if (t > n) {
            Output(x);
        } else {
            for (int i = 0; i <= 1; i++) {
                x[t] = i;
                if (constraint(t) && bound(t)) {    // 剪枝函数　　
                    backtrack(t + 1);
                }
            }
        }
    }

（2）排列树【时间复杂度 O(n!) 】

void backtrack(int t) {
        if (t > n) {
            Output(x);
        } else {
            for (int i = t; i <= n; i++) {
                swap(x[t], x[i]);
                if (constraint(t) && bound(t)) {     // 剪枝函数
                    backtrack(t + 1);
                }
                swap(x[t], x[i]);
            }
        }
    }

四、总结

回溯法核心：找出解决问题的组织结构，是采用子集树解决，还是采用排列树解决；

回溯法重点：根据问题，找出剪枝函数，避免无效的搜索，导致性能降低；

回溯法缺点：比较慢，递归求解，排列树思想要搜索出所有的解，类似于暴力求解，时间复杂度高。

2. leetcode题目

题目

对于给定的集合 A{a1,a2,…,an}，其中的 n 个元素互不相同，如何输出这 n 个元素的所有排列（全排列），时间复杂度为O(2n)；

例如：{a, b, c}

全排列：{a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}

思路

回溯算法思想：

这里以 A{a, b, c} 为例，来说明全排列的生成方法，对于这个集合，其包含 3 个元素，所有的排列情况有 3!=6 种，对于每一种排列，其第一个元素有 3 种选择 a, b, c，对于第一个元素为 a的排列，其第二个元素有 2 种选择 b, c；第一个元素为 b 的排列，第二个元素也有2种选择a，c，……，依次类推，我们可以将集合的全排列与一棵多叉树对应。如下图所示：
　　
Java代码

class Solution {
  List<List<Integer>> output = new ArrayList();
  int n, k;

  public void backtrack(int first, ArrayList<Integer> curr, int[] nums) {
    // if the combination is done
    if (curr.size() == k)
      output.add(new ArrayList(curr));

    for (int i = first; i < n; ++i) {
      // add i into the current combination
      curr.add(nums[i]);
      // use next integers to complete the combination
      backtrack(i + 1, curr, nums);
      // backtrack
      curr.remove(curr.size() - 1);
    }
  }

  public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
    n = nums.length;
    for (k = 0; k < n + 1; ++k) {
      backtrack(0, new ArrayList<Integer>(), nums);
    }
    return output;
  }
}