[HDOJ 4889] Scary Path Finding Algorithm [SPFA]

这是一个毁三观的题...

题目首先给出了一个slf优化的SPFA的代码，然后让你hack他...

经过这道题..再也不敢用slf优化了..或者说这根本不是个优化...

slf优化就是说，在spfa的队列中，如果要加入队列的节点比当前的队首节点距离还要小，则将其添加到队首而不是队尾...也就是说，类似dijkstra，优先从距离近的点出发。

这个看起来效果不错的优化，实际上有着致命的问题，在特别的图上，复杂度会退化到2^n。

在这个图中，我们设计算从i到n的最短路所需要的运算次数为f(i)，则对于奇数号点p，如1,3,..,n，会把p+1放到队尾，把p+2放到队首，因为p+2在队首，所以会先从p+2开始，又因为后边所有的边都是非正的，所以他们不会小于p+2，即他们也会放到队首。这样我们就先计算了以下从p+2出发的一次最短路，然后在从p+1到p+2，更新了p+2的值，又重新计算了一次从p+2出发的一次最短路。这样我们可以得出f(i)>2*f(i+2)，这个递归式显然是指数增长的，即只需30对点，就可以让它的复杂度增长到2^30。

过这道题的代码是这样的..无须考虑输入数据...

#include 
const int T=30;
int main() {
	int c;
	while (scanf("%d",&c)!=EOF) {
		int n,m,i;
		n=T*2+1;
		m=T*3;
		printf("%d %d\n",n,m);
		for (i=0;i

究其原因，要从SPFA是Bellman-ford的优化说起。在n个点m条边的图中，Bellman-ford的复杂度是n*m，依次对每条边进行松弛操作，重复这个操作n-1次后则一定得到最短路，如果还能继续松弛，则有负环。这是因为最长的没有环路的路，也只不过是n个点n-1条边构成的，所以松弛n-1次一定能得到最短路。

SPFA的意义在于，如果一个点上次没有被松弛过，那么下次就不会从这个点开始松弛。每次把被松弛过的点加入到队列中，就可以忽略掉没有被松弛过的点。

但是最外层的循环还是n-1次..如果把被松弛的点放到前边，他相当于没有进行完这一轮松弛，就开始了一些其他的操作。但是这些其他的操作可能是无用的，因为这些操作的起始点可能还会被这一轮松弛更新。

所以传统的SPFA的复杂度不会超过n*m，并且每个点都不会第n次入队。但是slf优化...其实就不是个优化..它丢掉了一轮一轮松弛的这个特性..导致复杂度可能呈指数级上升。