点连通度 边连通度 最大流最小割 最小割点集 最小割边集

概念

(1)一个具有 N 个顶点的图，在去掉任意 k-1 个顶点后 (1<=K<=N) 所得的子图仍连通 
，而去掉 K 个顶点后的图不连通则称 G 是连通的， K 称作图 G 的点连通度，记作 K(G) 试设计

(2)相应地如果至少去掉 K 条边使这个图不连通，则 K 成为图的边连通度

 

等价关系

(1)求边连通度给每条边赋权值 1 ，任意选择源点，枚举汇点，依次求最小割，取其中的最小值即可

(2)那么给定源点和汇点时怎么求最小割呢，那就用到了最大流最小割定理，即一个图的小割等于其源点与汇店间的最大流

(3) 如何求一个图的最小割边集呢：最大流最小割定理，首先求得最大流。然后残留网络中，从源点出发深度优先遍历，所有被遍历到的点构成点集 SET1 ，剩余的点构成点集 SET2 。则 edge 即是最小割的割边集

(4)求一个给定的无向图的点连通度，可以转换为求边连通度，怎么转换就如下所示：

 

将点连通度转化为边连通度时怎么建图呢： 
1 ．构造一个网络 N 
若 G 为无向图： 
    (1) 原 G 图中的每个顶点 v 变成 N 网中的两个顶点 v' 和 v" ，顶点 v' 至 v" 有一条弧（有向边）连接，弧容量为 1; 
    (2) 原 G 图中的每条边  e ＝ uv ，在 N 网中有两条弧 e’= u"v',e"=v"u' 与之对应， e' 弧容量为 ∞ ，  e" 弧容量为 ∞ 
    (3)A” 为源顶点， B' 为汇顶点 
     注意：弧是有向边 
若 G 为有向图： 
    (I) 原 G 图中的每个顶点变成 N 网中的两个顶点 v’ 和 v” ，顶点 v' 至 v” 有一条弧连接，弧容量为 1 
    (2) 原 G 图中的每条弧  e ＝ uv 变成一条有向轨 u'u"v'v" ，其中轨上的弧 u"v' 的容量为 ∞; 
    (3)A” 为源顶点， B' 为汇顶点 
    
2 ．指定一个源点 A" ，枚举汇点，求 A" 到 B' 的最大流 F
3 ．求出所有枚举源点与汇点中的最小值 Fmin ，则所有具有流量 1 的弧 (v',v") 对应的 v 顶点组成一个割顶集，在 G 图中去掉这些顶点则 G 图变成不连通。 
4 。求出的结果如果 Fmin >= n 则表示这个图是一个强连通图，不存在割点