F - 生日蛋糕

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。 
设从下往上数第i(1 <= i <= M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i < M时，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。 
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。 
令Q = Sπ 
请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。 
（除Q外，以上所有数据皆为正整数） 

Input

有两行，第一行为N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。

Output

仅一行，是一个正整数S（若无解则S = 0）。

Sample Input

100
2

Sample Output

68

Hint

圆柱公式 
体积V = πR 2H 
侧面积A' = 2πRH 
底面积A = πR 2 

 

题解：枚举每层的高度与半径，底层蛋糕最大可能的半径和最大可能高度，从底层往上搭蛋糕，而不是从顶层往下搭 在同一层进行尝试的时候，半径和高度都是从大到小试 

剪枝：剪枝1：搭建过程中发现已建好的面积已经超过目前求得的最优表面积 ，或者预见到搭完后面积一定会超过目前最优表面积,则停止搭建 （最优性剪枝） 
 
剪枝2：搭建过程中预见到再往上搭，高度已经无法安排，或者半径已 经无法安排，则停止搭建(可行性剪枝） 
 
剪枝3：搭建过程中发现还没搭的那些层的体积，一定会超过还缺的体 积，则停止搭建(可行性剪枝） 
 
剪枝4：搭建过程中发现还没搭的那些层的体积，最大也到不了还缺的 体积，则停止搭建

 

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int N,M;
int minArea = 1 << 30; //最优表面积
int area = 0; //正在搭建中的蛋糕的表面积
int minV[30]; // minV[n]表示n层蛋糕最少的体积
int minA[30]; // minA[n]表示n层蛋糕的最少侧表面积
int main()
{
    cin >> N >> M  ;//M层蛋糕，体积N
    minV[0] = 0;
    minA[0] = 0;
    for( int i = 1; i<= M; ++ i)
    {
        minV[i] = minV[i-1] + i * i * i; //第i层半径至少i,高度至少i
        minA[i] =  minA[i-1] + 2 * i * i;
    }
    void Dfs(int v, int n,int r,int h);
    if( minV[M] > N )
        cout << 0 << endl;

    else
    {
        int maxH =  (N - minV[M-1])/(M*M) + 1;//底层最大高度
        //最底层体积不超过 (N-minV[M-1]),且半径至少M
        int maxR = sqrt(double(N-minV[M-1])/M) + 1;//底层高度至少M
        area = 0;
        minArea = 1 << 30;
        Dfs( N,M,maxR,maxH);
        if( minArea == 1 << 30)
            cout << 0 << endl;
        else
            cout << minArea << endl;
    }
}
void Dfs(int v, int n,int r,int h)
//要用n层去凑体积v,最底层半径不能超过r,高度不能超过h
//求出最小表面积放入 minArea
{
    int MaxVforNRH(int n,int r,int h);
    if( n == 0 )
    {
        if( v )
            return;
        else
        {
            minArea = min(minArea,area);
            return;
        }
    }
    if( v <= 0)
        return ;
    if( minV[n] > v ) //剪枝3
        return ;
    if( area + minA[n] >= minArea) //剪枝1
        return ;
    if( h < n || r < n ) //剪枝2
        return ;
    if( MaxVforNRH(n,r,h) < v )  //剪枝4
        //这个剪枝最强！没有的话，5秒都超时，有的话，10ms过！
        return;
    //for( int rr = n; rr <= r; ++ rr ) { 这种写法比从大到小慢5倍
    for( int rr = r; rr >=n; -- rr )
    {
        if( n == M ) //底面积
            area = rr * rr;
        for( int hh = h; hh >= n ; --hh )
        {
            area += 2 * rr * hh;
            Dfs(v-rr*rr*hh,n-1,rr-1,hh-1);
            area -= 2 * rr * hh;
        }
    }
}

int MaxVforNRH(int n,int r,int h)
//求在n层蛋糕，底层最大半径r，最高高度h的情况下，能凑出来的最大体积
{
    int v = 0;
    for( int i = 0; i < n ; ++ i )
        v += (r - i ) *(r-i) * (h-i);
    return v;
}