中等数学2015年第一期训练题（187）加试——2

求所有的素数 $p$ ，使得

$$p^2|\sum _{k=1}^{p-1}{k}^{2p+1}$$

解：

由于 $2^2̸|1$ , 故 $p=2$ 不满足条件.
以下设 $p$ 为奇素数.
对 $k=1,2,\cdots ,\frac{p-1}{2},$ 由费马小定理知
$k^{2p}\equiv k^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$.

故$$k^{2p+1}+(p-k{)}^{2p+1}\equiv k^{2p+1}+(2p+1)p{k}^{2p}-k^{2p+1}$$$$\equiv p{k}^{2p}\equiv p{k}^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^2).$$
求和知:

$$\sum _{k=1}^{p-1}{k}^{2p+1}\equiv p\sum _{k-1}^{\frac{p-1}{2}}{k}^2=p^2\cdot \frac{p^2-1}{24}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^2).$$

当且仅当$24\mid (p^2-1)$ 时，$$p^2\mid \sum _{k=1}^{p-1}{k}^{2p+1}.$$
显然,$p̸=3.$
当$p\ge 5$ ，时
$p^2-1=(p+1)(p-1)$ 必为3和8的倍数，
故 $24\mid (p^2-1)$.

综上，所求 $p$ 为一切大于3 的素数.