图论（十一）——度极大哈密尔顿图和TSP问题

一、度极大哈密尔顿图

\quad 概念：图G称为度极大非H图，如果它的度不弱于其它非H图。

1、$C_{m,n}$图

\quad 对于$1\le m\le \frac{n}{2}$，$C_{m,n}$图定义为$$C_{m,n}=K_{m}V({\overline{K}}_m+K_{n-2m})$$
\quad 举例画出$C_{1,5},C_{2,5}$

\quad 性质：对于$1\le m\le \frac{n}{2}$，$C_{m,n}$是非H图

2、度极大非H图的特征

\quad 定理：若G是$G\ge 3$的非H单图，则G度弱于某个$C_{m,n}$图。即如果n阶单图G度优于所有的$C_{m,n}$图族，则G是H图。
\quad 推论：设G是n阶单图。若$n\ge 3$且$$|E(G)|>C_2^{n-1}+1$$则G是H图。并且具有n个顶点$C_2^{n-1}+1$条边的非H图只有$C_{1,n}$和$C_{2,5}$，边数小于$C_2^{n-1}+1$就无法判断是否是H图了。

二、TSP问题

\quad TSP问题即旅行售货员问题，是应用图论中典型问题之一。问题提法为：一售货员要到若干城市去售货，每座城市只经历一次，问如何安排行走路线，使其行走的总路程最短。
\quad 在赋权图中求最小H圈是NP—难问题。理论上也已经证明：不存在多项式时间近似算法，使相对误差小于或等于某个固定的常数ε,即便是ε=1000也是如此。
\quad 已经使用过的近似算法很多，如遗传算法、最邻近算法、最近插值法、贪婪算法和边交换技术等。下面介绍边交换技术。
1、在赋权完全图中取一个初始H圈$C=v_1{v}_2,\dots ,v_n{v}_1$

2、如果存在下图中红色边，且$w(v_i{v}_{i+1})+w(v_j{v}_{j+1})\geqq w(v_i{v}_j)+w(v_{i+1}{v}_{j+1})$,则把C修改为： $C_1=v_1{v}_2,\dots ,v_i{v}_j\dots v_{i+1}{v}_{j+1}\dots ,v_n{v}_1$

\quad 最优H圈的下界

• 1、在G中删除任意一点v得到图G1
• 在G1中求出一颗最小生成树T
• 在v的关联边中选出权值最小的两条边e1和e2

若H是G的最优圈，则$W(H)\ge W(T)+W(e_1)+W(e_2)$